Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

Für den Punkt (2) dieser Festlegung ist wesentlich, dass, per Definition, in expliziten
Darstellungen von Mengen Mehrfachauflistungen von Elementen verboten sind, also beispielsweise
{1, 2, 2, 3, 3} keine explizite Darstellung einer Menge ist. Die Kardinalität |M|
gibt also die Anzahl der Elemente an, die in der Menge M enthalten sind. Man beachte,
dass die Notation |M| nur für endliche Mengen erklärt ist. Somit sind etwa |N| und |Z|
nicht zulässige Ausdrücke. Statt Kardinalität benutzt man manchmal auch die Bezeichnungen
„Größe“ oder „Betrag“ oder „Mächtigkeit“. Für die Kardinalität von Mengen gilt
die folgende wichtige Aussage.
1.3.7 Satz: Kardinalitätsformel
Für alle endlichen Mengen M und N gilt die folgende Kardinalitätsformel:
|M ∪ N| = |M| + |N| − |M ∩ N|
Im Fall von M ∩N = ∅ (man sagt hier: M und N sind disjunkt oder haben leeren Schnitt)
gilt also insbesondere die Gleichheit
|M ∪ N| = |M| + |N|.
Beweis: Wir unterscheiden einige Fälle. Es sei im ersten Fall eine der beiden Mengen leer,
etwa N. Dann gilt die Gleichung aufgrund der Rechnung
|M ∪ N| = |M| = |M| + 0 − 0 = |M| + |N| − |M ∩ N|.
Nun gelte im zweiten Fall M ≠ ∅ und N ≠ ∅ mit M = {a 1 , . . . , a m } und N = {b 1 , . . . , b n },
wobei m und n natürliche Zahlen ungleich Null seien. Gilt M ∩ N = ∅, so bekommen wir
das gewünschte Ergebnis durch
|M ∪ N| = |{a 1 , . . . , a m , b 1 , . . . , b n }|
= m + n
= |{a 1 , . . . , a m }| + |{b 1 , . . . , b n }| − 0
= |M| + |N| − |M ∩ N|.
Schließlich gelte im dritten Fall M ∩N ≠ ∅ und es sei M ∩N = {a 1 , . . . , a r } = {b 1 , . . . , b r },
mit einer natürlichen Zahl r, die r ≤ m und r ≤ n erfüllt. Dass die ersten r Elemente von
M und N übereinstimmen, kann man bei der expliziten Darstellung dieser Mengen jeweils
durch eine entsprechende Aufschreibung erreichen. Nun gilt
|M ∪ N| = |{a 1 , . . . , a m , b r+1 , . . . , b n }|
= m + (n − r)
= |{a 1 , . . . , a m }| + |{b 1 , . . . , b n }| − |{a 1 , . . . , a r }|
= |M| + |N| − |M ∩ N|
und durch diese Rechnung ist der Beweis beendet.
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Das nachfolgende kleine Beispiel demonstriert den eben gezeigten Sachverhalt der Kardinalitätsformel
noch einmal.
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