Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

Im Hinblick auf die Vereinigung und den Durchschnitt beliebiger Mengen gelten die beiden
folgenden Gleichungen:
⋃
P(M) = M
⋂
P(M) = ∅
Die Potenzmenge wird bei mengentheoretischen Untersuchungen gerne als Bezugsmenge
genommen. Es gelten nämlich, falls X, Y ∈ P(M), die folgenden Eigenschaften:
X ∪ Y ∈ P(M) X ∩ Y ∈ P(M) X \ Y ∈ P(M)
Spielen sich alle Untersuchungen in der Potenzmenge von M ab, dann ist M das Universum.
Dies impliziert
⋂
∅ = {x ∈ M | für alle X ∈ ∅ gilt x ∈ X} = {x ∈ M | wahr} = M.
Potenzmengen werden sehr schnell sehr groß. Es ist sogar für kleine Mengen nicht einfach,
die Potenzmenge explizit anzugeben. Oft werden Elemente beim Hinschreiben vergessen.
Der folgende Satz zeigt, wie man die Potenzmenge schrittweise auf eine systematische Weise
konstruieren kann. Er beschreibt quasi ein Berechnungsverfahren (einen Algorithmus)
dafür.
1.3.3 Satz: Konstruktion der Potenzmenge
Es sei M eine Menge und a ein Objekt mit a /∈ M. Dann sind für alle Mengen X die
folgenden Aussagen äquivalent:
(1) X ∈ P(M ∪ {a})
(2) X ∈ P(M) oder es gibt eine Menge Y mit Y ∈ P(M) und X = Y ∪ {a}
Insbesondere gilt P(M ∪ {a}) = P(M) ∪ {X | Es gibt Y ∈ P(M) mit X = Y ∪ {a}}.
Beweis: Wir beginnen mit dem Beweis von (2) aus (1). Dazu sei X ∈ P(M ∪{a}) beliebig
vorgegeben. Wir unterscheiden zwei Fälle.
(a) Es gelte a /∈ X. Dann gilt sogar X ⊆ M, also auch X ∈ P(M).
(b) Es gelte a ∈ X. Wir definieren die Menge Y durch Y := X \ {a}. Dann gilt Y ⊆ M,
also genau Y ∈ P(M), und es gilt auch noch X = (X \ {a}) ∪ {a} = Y ∪ {a}.
Nun zeigen wir, dass (1) aus (2) folgt. Auch hier gibt es zwei Fälle
(a) Es gelte X ∈ P(M). Dann haben wir X ⊆ M und dies impliziert X ⊆ M ∪ {a}, was
genau der Aussage X ∈ P(M ∪ {a}) entspricht.
(b) Es gelte X = Y ∪ {a} mit einer Menge Y , für die Y ⊆ M wahr ist. Dann bringt Satz
1.2.4, dass X = Y ∪ {a} ⊆ M ∪ {a} gilt, und dies bringt X ∈ P(M ∪ {a}). □
Im nachfolgenden Beispiel zeigen wir, wie man mit Hilfe dieses Satzes Potenzmengen
berechnen kann, indem man mit der leeren Menge startet und solange Elemente einfügt,
bis die vorgegebene Menge erreicht ist. Parallel zu dieser Berechnung erzeugt man auch
alle Potenzmengen.
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