Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

als Funktionen spezifiziert und bei der Wertdefinition dem Aufbau der Formeln folgt.
Wir bleiben hier aber informeller, da dies für alles Weitere genügt. Belegungen geben wir
nachfolgend durch das Zeichen ∧ = an.
2.2.5 Beispiel: Berechnung des Wertes einer Formel
Es sei die Menge X := {a, b, c} von drei atomaren Aussagen (Aussagenvariablen) gegeben.
Wir berechnen den Wert der aussagenlogischen Formel
¬((a ⇒ (b ⇒ c)) ∧ (a ∨ b))
zur Belegung der atomaren Aussagen mittels a ∧ = W, b ∧ = W und c ∧ = F und stellen
die Berechnung als Folge von Schritten dar. Im ersten Schritt ersetzen wir jede atomare
Aussage durch ihre Belegung. Dies bringt:
¬((W ⇒ (W ⇒ F)) ∧ (W ∨ W))
Dann werten wir dies, wie von der weiterbildenden Schule her bei arithmetischen Ausdrücken
bekannt, von innen nach außen aus. Dies bringt zuerst
¬((W ⇒ F) ∧ W),
indem die Tafeln für „⇒“ und „∨“ angewendet werden, und dann
¬(F ∧ W)
indem die Tafel für „⇒“ angewendet wird, und dann
¬F,
indem die Tafel für „∧“ angewendet wird, und schließlich
W,
indem die Tafel für „¬“ angewendet wird. Also ist die Ausgangsformel zur Belegung a = ∧ W,
b = ∧ W und c = ∧ F wahr.
□
Eine oft vorkommende Aufgabe ist, zu zeigen, dass zwei Formeln A 1 und A 2 den gleichen
Wert haben, unabhängig davon, ob dieser W oder F ist. Wenn man dies als Beziehung
zwischen Formeln definiert, dann erhält man die folgende Festlegung.
2.2.6 Definition: logische Äquivalenz
Zwei aussagenlogische Formeln heißen logisch äquivalent, wenn jede Belegung ihrer atomaren
Aussagen durch jeweils gleiche Wahrheitswerte dazu führt, dass die beiden Formeln
den gleichen Wert besitzen.
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Die logische Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln bestimmt man oft dadurch, dass
man zu einer angenommenen festen Belegung in Form einer Tabelle alle möglichen Werte
gemäß dem Aufbau durchprobiert und die entstehenden Werte jeweils vergleicht. Wir
demonstrieren dieses Vorgehen mittels Wahrheitstabellen, welches in seiner nun gebräuchlichen
Form dem österreichischen Philosophen Ludwig Wittgenstein (1889-1951) und dem
polnischen Logiker und Mathematiker Emil Post (1897-1954) zugeschrieben wird, im nächsten
Satz anhand einiger bekannter Formeln.
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