Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

genau dann, wenn a ∈ M und a ∈ N gelten. Also gilt insbesondere a ∈ M.
Beweis von M ⊆ M ∩ N: Es sei wiederum a ein beliebiges Objekt. Gilt a ∈ M, so gilt
auch a ∈ N wegen der Voraussetzung M ⊆ N. Also gelten die beiden Aussagen a ∈ M
und a ∈ N und dies ist gleichwertig zur Gültigkeit von a ∈ M ∩ N.
Nun zeigen wir die Umkehrung, also wie (1) aus (2) folgt. Es sei a ein beliebiges Objekt.
Gilt a ∈ M, so ist dies äquivalent zu a ∈ M ∩ N, da wir M = M ∩ N voraussetzen.
Aus a ∈ M ∩ N folgt insbesondere a ∈ N.
Die Aussagen „aus (1) folgt (3)“ und „aus (3) folgt (1)“ zeigt man vollkommen analog.
Damit sind auch (1) und (3) äquivalent und die Äquivalenz von (1) und (2) und von (1)
und (3) zeigt die Äquivalenz von (2) und (3).
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Bei diesem Beweis haben wir schon etwas an logischen Schlüssen verwendet, nämlich,
dass für beliebige Aussagen A 1 , A 2 , A 3 die folgenden Eigenschaften gelten:
(1) Folgt A 2 aus A 1 und A 1 aus A 2 , so sind A 1 und A 2 äquivalent.
(2) Sind A 1 und A 2 äuivalent und A 2 und A 3 äquivalent, so sind auch A 1 und A 3 äquivalent.
(3) Aus A 1 und A 2 folgt A 1 .
Dass diese logischen Schlüsse korrekt sind, werden wir im nächsten Kapitel zeigen. Der
Beweis von Satz 1.2.3 wurde, wie auch der von Satz 1.1.11, im Hinblick auf die logischen
Zusammenhänge und Folgerungen noch in normaler Umgangssprache abgefasst. Wenn wir
im zweiten Kapitel die formale Sprache der mathematischen Logik eingeführt haben, dann
werden die Beweise diese mathematische „Kunstsprache“ mit verwenden, um Teile der Umgangssprache
zu ersetzen. Solche Beweise werden dann wesentlich knapper und prägnanter
und verwenden die logischen Regeln auch besser erkennbar. Im Folgenden Satz stellen wir
einige weitere wichtige Regeln für die Vereinigung und den Durchschnitt von Mengen vor.
Die Eigenschaften in (1) nennt man Kommutativität, die in (2) Assoziativität, die in (3)
Distributivität und die in (5) Monotonie. Weil in (4) eine Menge im Sinne des Enthaltenseins
zwischen zwei Mengen liegt, nennt man dies auch oft eine Einschließungseigenschaft.
1.2.4 Satz: Kommutativität, Assoziativität, Distributivität
Für alle Mengen M, N und P gelten die folgenden Aussagen:
(1) M ∪ N = N ∪ M und M ∩ N = N ∩ M
(2) M ∪ (N ∪ P) = (M ∪ N) ∪ P und M ∩ (N ∩ P) = (M ∩ N) ∩ P
(3) M ∪ (N ∩ P) = (M ∪ N) ∩ (M ∪ P) und M ∩ (N ∪ P) = (M ∩ N) ∪ (M ∩ P)
(4) M ∩ N ⊆ M ⊆ M ∪ N
(5) M ⊆ N impliziert M ∪ P ⊆ N ∪ P und M ∩ P ⊆ N ∩ P
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