Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

überraschen. Es zeigt aber sehr schön, dass man in der Mathematik oft auf verschiedenen
Sprachebenen argumentiert. Es wird in ihm nämlich die Äquivalenz auf drei verschiedenen
Ebenen angegeben, in (2) in Gestalt einer Formel, in (1) in Gestalt einer speziellen Beziehung
zwischen Formeln und schließlich noch auf der umgangssprachlichen Metaebene.
2.2.8 Satz: logische Äquivalenz und Gültigkeit
Für alle aussagenlogischen Formeln A 1 und A 2 sind die folgenden zwei Eigenschaften äquivalent.
(1) Die Formeln A 1 und A 2 sind logisch äquivalent.
(2) Die Formel A 1 ⇔ A 2 hat den Wert W für alle Belegungen ihrer atomaren Aussagen.
Beweis: Wir zeigen zuerst, dass (2) aus (1) folgt. Es seien also A 1 und A 2 logisch äquivalent.
Weiterhin sei eine beliebige Belegung der atomaren Aussagen gegeben. Wir unterscheiden
zwei Fälle.
(a) Beide Formeln haben zu der gegebenen Belegung W als Wert. Dann hat aufgrund von
Definition 2.2.4 (5) auch die Formel A 1 ⇔ A 2 den Wert W.
(b) Beide Formeln haben zu der Belegung F als Wert. Dann hat aufgrund von Definition
2.2.4 (5) auch die Formel A 1 ⇔ A 2 ebenfalls den Wert W.
Nun beweisen wir, dass (1) aus (2) folgt. Dazu sei eine beliebige Belegung der atomaren
Aussagen vorgegeben. Hat die Formel A 1 ⇔ A 2 bezüglich ihr den Wert W, dann müssen
A 1 und A 2 bezüglich ihr beide den Wert W oder beide den Wert F haben. Dies sehen wir,
indem wir in Definition 2.2.4 (5) alle Zeilen der Tabelle durchgehen. Die Formeln sind also
per Definition logisch äquivalent.
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Satz 2.2.7 besagt insbesondere, dass die folgenden aussagenlogischen Formeln für alle Belegungen
der atomaren Aussagen den Wert W haben, also immer wahr sind:
A ⇔ ¬¬A
(A 1 ⇔ A 2 ) ⇔ (A 1 ⇒ A 2 ) ∧ (A 2 ⇒ A 1 )
(A 1 ⇒ A 2 ) ⇔ ¬A 1 ∨ A 2
¬(A 1 ∧ A 2 ) ⇔ ¬A 1 ∨ ¬A 2
¬(A 1 ∨ A 2 ) ⇔ ¬A 1 ∧ ¬A 2
A 1 ∧ (A 2 ∨ A 3 ) ⇔ (A 1 ∧ A 2 ) ∨ (A 1 ∧ A 3 )
A 1 ∨ (A 2 ∧ A 3 ) ⇔ (A 1 ∨ A 2 ) ∧ (A 1 ∨ A 3 )
Neben diesen Formeln gibt es noch weitere wichtige Formeln der Aussagenlogik, beispielsweise
die offensichtliche Kommutativität und die auch offensichtliche Assoziativität der
Konjunktion und der Disjunktion, welche erlauben, Klammern zu sparen. Auch ist klar,
dass A ∨ ¬A und wahr logisch äquivalent sind und dieses auch für A ∧ ¬A und falsch
zutrifft. Wir wollen aber nicht näher auf weitere wichtige wahre Formeln der Aussagenlogik
eingehen, sondern uns nun einem anderen Thema aus diesem Gebiet zuwenden.
Bisher stellt die tabellarische Methode die einzige Möglichkeit dar, zu zeigen, dass zwei
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