Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

(1) „A impliziert A“ (Beweis von Satz 1.1.11, Teil (1)).
(2) Gelten „A 1 impliziert A 2 “ und „A 2 impliziert A 3 “, dann gilt auch „A 1 impliziert A 3 “
(Beweis von Satz 1.1.11, Teil (3)).
(3) „A 1 und A 2 “ ist äquivalent zu „A 2 und A 1 “ (Beweis von Satz 1.2.4, Teil (1)).
(4) Gilt A(a), so gilt auch „es gibt ein x mit A(x)“ (Beweis von Satz 1.2.6).
(5) Gilt „es gilt A(x) für alle x“, so gilt A(a) (Beweis von Satz 1.4.11).
Dies alles wird wesentlich prägnanter, besser lesbar und auch besser manipulierbar, wenn
man statt der Umgangssprache die Formelsprache der Mathematik verwendet. Ihre wichtigsten
Symbole werden nachfolgend eingeführt. Sie entsprechen genau den obigen Konstruktionen
(1) bis (7).
2.1.1 Definition: Konstruktionen der mathematischen Formelsprache
Die oben unter (1) bis (7) umgangssprachlich formulierten Aussagen werden in der Formelsprache
der Mathematik wie folgt formuliert:
(1) ¬A
(2) A 1 ∧ A 2
(3) A 1 ∨ A 2
(4) A 1 ⇒ A 2
(5) A 1 ⇔ A 2
(6) ∀ x : A(x) (Hier ist x durch das Symbol „∀“ gebunden.)
(7) ∃ x : A(x) (Hier ist x durch das Symbol „∃“ gebunden.)
Damit man beim Hinschreiben von Aussagen unter Verwendung der eben eingeführten
Symbole Klammern sparen kann, wird angenommen, dass die Bindung der Symbole von
oben nach unten in Gruppen abnimmt. Es bindet das Symbol „¬“ am stärksten, dann
kommen die Symbole „∧“ und „∨“, die gleich stark binden, dann kommen die Symbole
„⇒“ und „⇔“, die ebenfalls gleich stark binden, und am schwächsten binden der Allquantor
„∀“ und der Existenzquantor „∃“.
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Statt ∀ x : ((¬A 1 ∧ A 2 ) ⇒ A 3 ) kann man also ∀ x : ¬A 1 ∧ A 2 ⇒ A 3 schreiben. Die obigen
fünf umgangssprachlichen logischen Schlussweisen schreiben sich mit Hilfe der eben
eingeführten Symbole wie folgt:
(1) A ⇒ A (Reflexivität)
(2) (A 1 ⇒ A 2 ) ∧ (A 2 ⇒ A 3 ) ⇒ (A 1 ⇒ A 3 ) (Transitivität)
(3) (A 1 ∧ A 2 ) ⇔ (A 2 ∧ A 1 ) (Kommutativität)
(4) A(a) ⇒ (∃ x : A(x)) (Zeuge zeigt Existenzquantifizierung)
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