Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

(3) Die linke logische Äquivalenz folgt aus der Rechnung
A 1 ⇒ A 1 ∧ A 2 ⇐⇒ ¬A 1 ∨ (A 1 ∧ A 2 ) Satz 2.2.7, (3)
⇐⇒ (¬A 1 ∨ A 1 ) ∧ (¬A 1 ∨ A 2 ) Distributivität
⇐⇒ wahr ∧ (¬A 1 ∨ A 2 )
⇐⇒ ¬A 1 ∨ A 2
⇐⇒ A 1 ⇒ A 2 Satz 2.2.7, (3)
(wobei die Schritte ohne Begründungen klar sind) und A 1 ⇒ A 2
man in einer ähnlichen Weise.
⇐⇒ A 1 ∨A 2 ⇒ A 2 zeigt
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Mittels der bisherigen Formeln und Regeln (und noch vieler Regeln, die wir aus Platzgründen
nicht betrachten) kann man nun die Beweise von Kapitel 1, in denen keine Quantoren
auftauchen, wesentlich knapper und präziser formulieren. Wir wollen dies nun demonstrieren.
Dabei greifen wir zwei Mengengleichheiten auf, von denen wir eine schon
umgangssprachlich in Kapitel 1 bewiesen haben. Die folgenden Rechnungen sind sehr detailliert
und deshalb etwas länglich; wer erfahrener in der Mathematik ist, wendet in einem
Umformungsschritt oft mehrere Regeln gleichzeitig an. Dies macht die Ketten kürzer.
2.2.10 Beispiele: Beweis von Mengengleichheiten
Für alle Mengen M, N und P und alle Objekte x können wir wie folgt logisch umformen.
x ∈ M \ (N ∩ P) ⇐⇒ x ∈ M ∧ x /∈ (N ∩ P)
⇐⇒ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ N ∩ P)
⇐⇒ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ N ∧ x ∈ P)
⇐⇒ x ∈ M ∧ (¬(x ∈ N) ∨ ¬(x ∈ P))
⇐⇒ (x ∈ M ∧ ¬(x ∈ N)) ∨ (x ∈ M ∧ ¬(x ∈ P))
⇐⇒ (x ∈ M ∧ x /∈ N) ∨ (x ∈ M ∧ x /∈ P)
⇐⇒ x ∈ M \ N ∨ x ∈ M \ P
⇐⇒ x ∈ (M \ N) ∪ (M \ P)
Diese Rechnung zeigt die Mengengleichheit M \ (N ∩ P) = (M \ N) ∪ (M \ P). Analog
bekommen wir, indem wir wiederum das Symbol „/∈“ durch das logische Negationssymbol
„¬“ und das Enthaltenseinssymbol „∈“ ausdrücken, die Rechnung
x ∈ M \ (M \ N) ⇐⇒ x ∈ M ∧ x /∈ (M \ N)
⇐⇒ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ M \ N)
⇐⇒ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ M ∧ x /∈ N)
⇐⇒ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ M ∧ ¬(x ∈ N))
⇐⇒ x ∈ M ∧ (¬(x ∈ M) ∨ ¬¬(x ∈ N))
⇐⇒ x ∈ M ∧ (x /∈ M ∨ x ∈ N)
⇐⇒ (x ∈ M ∧ x /∈ M) ∨ (x ∈ M ∧ x ∈ N)
⇐⇒ falsch ∨ (x ∈ M ∧ x ∈ N)
⇐⇒ x ∈ M ∧ x ∈ N
⇐⇒ x ∈ M ∩ N,
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