Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

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8 Grundbegriffe algebraischer Strukturen 207 8.1 Homogene algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2 Strukturerhaltende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.3 Unterstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.4 Produkt- und Quotientenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.5 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.6 Einige Bemerkungen zu allgemeinen mathematischen Strukturen . . . . . . 247 9 Einige Literaturhinweise 251 Index 255 viii
1 Mengentheoretische Grundlagen Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) etwa zwischen 1870 und 1900 begründet. Heutzutage baut die gesamte moderne und wissenschaftliche Mathematik, wenn sie formal axiomatisch betrieben wird, auf der axiomatischen Mengenlehre auf. Für Anfänger in der Mathematik ist ein axiomatischer Mengenbegriff sehr schwer zu verstehen. Deshalb wählen wir in diesem Kapitel einen, wie man sagt, naiven Zugang zu Mengen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von naiver Mengenlehre. 1.1 Der Cantorsche Mengenbegriff Im Jahre 1885 formulierte Georg Cantor die folgende Definition einer Menge, die immer noch als Grundlage für eine naive Mengenlehre verwendet werden kann. Dabei verwenden wir erstmals das Zeichen „□“, um das Ende eines nummerierten Textstücks anzuzeigen, das durch ein Schlüsselwort (wie „Definition“, „Beispiel“ oder „Satz“) eingeleitet wird. 1.1.1 Definition: Menge (G. Cantor) Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. □ Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden drei Forderungen. (1) Wir müssen eine Schreibweise dafür festlegen, wie Objekte zu einer Menge zusammengefasst werden. (2) Wir müssen eine Notation festlegen, die besagt, ob ein Element zu einer Menge gehört oder nicht. (3) Da alle Objekte wohlunterschieden sein sollen, ist für alle Objekte festzulegen, wann sie gleich sind und wann sie nicht gleich sind. Beginnen wir mit dem ersten der obigen drei Punkte. Dies führt zur Festlegung, wie Mengen dargestellt werden. Wir starten mit der einfachsten Darstellung. 1.1.2 Definition: explizite Darstellung Die explizite Darstellung (oder Aufzählungsform) einer Menge ist dadurch gegeben, dass man ihre Elemente durch Kommata getrennt in Form einer Liste aufschreibt und diese dann mit den geschweiften Mengenklammern „{“ und „}“ einklammert. Jedes Element tritt in der Liste genau einmal auf. □ Die Reihenfolge des Auftretens der Elemente bei einer expliziten Darstellung einer Menge ist irrelevant. Etwa stellen {1, 2, 3} und {2, 1, 3} die gleiche Menge dar, nämlich diejenige, welche genau aus den drei Elementen 1, 2 und 3 besteht. Explizit kann man nur Mengen mit endlich vielen Elementen darstellen. Ist die Elementanzahl zu groß, so verwendet man oft drei Punkte „. . .“ als Abkürzung, wenn die Gesetzmäßigkeit, die sie abkürzen, 1
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Seite 4 und 5: Hausaufgaben geben der Studentin od
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Seite 11 und 12: „einschließende oder“ und nich
Seite 13 und 14: durch die Forderung von geeigneten
Seite 15 und 16: diesen Abschnitt mit einem Beispiel
Seite 17 und 18: ist, der nicht zu der N darstellend
Seite 19 und 20: Beweis: (1) Es gilt M ∪ N = {x |
Seite 21 und 22: Wir kommen zum Beweis der verbleibe
Seite 23 und 24: für alle Mengen N und P mit N ⊆
Seite 25 und 26: 1.3.4 Beispiel: Konstruktion der Po
Seite 27 und 28: 1.3.8 Beispiel: Kardinalität Wir b
Seite 29 und 30: alles, was man konstruiert, auf Men
Seite 31 und 32: die Zugspitze ist höher als der Wa
Seite 33 und 34: Beispielweise ist die Nachfolger-Re
Seite 35 und 36: (a) für alle (x, y) ∈ M × N gil
Seite 37 und 38: etwa mit den Bemerkungen zu Satz 1.
Seite 39 und 40: 2 Logische Grundlagen Neben der Men
Seite 41 und 42: (5) (∀ x : A(x)) ⇒ A(a) (Spezia
Seite 43 und 44: definiert. Die Werte der atomaren A
Seite 45 und 46: 2.2.7 Satz: grundlegende logische
Seite 47 und 48: Formeln logisch äquivalent sind. B
Seite 49 und 50: und diese zeigt M \ (M \ N) = M ∩
Seite 51 und 52: Es sei M eine Menge. Die Formel A 2
Seite 53 und 54: Beispiele: 2 ≤ x x ≤ n − 1 x
Seite 55 und 56: äquivalente Formeln genau dann sin
Seite 57 und 58: Und hier ist noch die Rechnung, wel
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Analog zu den oben angegebenen logi
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wo man versucht, Widersprüche beim
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3 Allgemeine direkte Produkte In Ab
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statt f((a 1 , . . . , a n )) für
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als mengentheoretisches Modell von
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auchen. Um mit linearen Listen umge
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Schließlich zeigen wir durch die R
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und der Operation „:“ spezifizi
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links sind in den obigen Bildern di
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Ein Binärbaum der Gestalt (l, a, r
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zur Konstruktion des Binärbaums mi
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der Argumente. Dann heisst M indukt
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4 Mathematische Beweise Beweise sin
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Folglich ist f( ⋂ M) ⊆ X für a
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die verwendet, dass das größte El
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4.3.2 Festlegung In Weiteren bezeic
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Zur Negation dieser Formel empfiehl
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(2) Induktion durch Rückgriff: Hie
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Induktionsbeginn: Es ist A(0) zu ze
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a ∈ R und n ∈ N und dies ist ge
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|t| = |u| + 1, also |u| < |t|, und
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zugrunde, welche man durch eine lei
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Wenn wir nun auf der rechten Seite
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aus der Aufschreibung von oben nach
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Durch diese Zuordnung werden auch d
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4.5.11 Sinnvolle Fallunterscheidung
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Die Rekursionsstruktur von g ist vo
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5 Spezielle Funktionen In Abschnitt
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hinreichend vertraut ist, und erwä
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Bezeichnungsweise im Zusammenhang m
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(2) Die identische Funktion auf ein
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(2) Die Bijektivität der Funktion
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das Urbild oder die Urbildmenge von
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5.1.19 Satz: Surjektivität und Rec
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man nämlich zeigen, dass die leere
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Mengen M mit |M| = |N| heißen abz
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(c) Die Mengen X ◦ und g 1 (X ◦
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Die Bezeichnung in der Literatur hi
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Nachfolgend sind die ersten zwei Po
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da dieser für die Informatik der w
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Beweis: Wir beweisen durch vollstä
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n ∈ N mit n ≥ m gilt. Mit O(f)
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5.4 Einige Bemerkungen zur Berechen
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