Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

genannt. Nun kommt es vor, dass bei solchen Angaben auch verschiedene Fälle auftreten
können. Ein Beispiel ist etwa der Absolutbetrag |x| einer reellen Zahl x, welcher definiert
ist durch |x| = x, falls x ≥ 0, und durch |x| = −x, falls x < 0. Wenn man dies als
Funktionsdefinition angibt, so verwendet man in der Regel eine geschweifte Klammer, um
die verschiedenen Fälle auseinanderzuhalten, schreibt also
{
x falls x ≥ 0
| · | : R → R |x| =
−x falls x < 0,
wobei der Punkt in der Angabe der Bezeichnung der Funktion zeigt, wo bei Anwendungen
die Argumente stehen, oder auch
{
x falls x ≥ 0
| · | : R → R |x| =
−x sonst,
wobei nun zusätzlich das Wort „sonst“ den nicht durch „falls“ abgedeckten Fall meint.
Eine Verallgemeinerung dieser Schreibweisen auf mehr als zwei Fälle ist offensichtlich.
Fallunterscheidungen treten insbesondere in Definitionen von Funktionen auf, wenn das
Prinzip der Rekursion verwendet wird. Rekursion heißt, dass bei einer Definition des
Wertes f(x) andere Werte von f verwendet werden dürfen. Häufig sind die folgenden
beiden Situationen:
(1) Eine Funktion, die explizit gegeben ist, wird in Form einer rekursiven Beschreibung
angegeben; es wird also eine sogenannte rekursive Darstellung bewiesen.
(2) Es wird das Prinzip der Rekursion verwendet, um die Funktion explizit zu spezifizieren.
Ein sehr bekanntes Beispiel für eine Rekursion ist die Berechnung des größten gemeinsamen
Teilers von zwei natürlichen Zahlen x und y. Wird dieser mit ggT(x, y) bezeichnet,
so kann man für die entsprechend explizit definierte Funktion
ggT : N × N → N
ggT(x, y) = max {z ∈ N | z | x und z | y},
in der die Operation max zu einer endlichen und nichtleeren Teilmenge von N deren größtes
Element bestimmt, nach einigen Rechnungen die Gleichung
{
x falls y = 0
ggT(x, y) =
ggT(y, mod(x, y)) sonst
beweisen, wobei mod(x, y) den Rest der ganzzahligen Division von x durch y bezeichnet
(genauer werden wir diese Operation in Kapitel 6 behandeln). Dadurch kann man größte
gemeinsame Teiler einfach bestimmen, etwa durch
ggT(6, 18) = ggT(18, 6) = ggT(6, 0) = 6
den von 6 und 18. Das erste Vorgehen „Herleitung einer Rekursion“ ist insbesondere in der
Informatik von Bedeutung, wenn funktional programmiert wird. Letzteres heißt, dass im
Prinzip mit Funktionen Berechnungsverfahren formuliert werden und diese in der verwendeten
Programmiersprache nur in einer speziellen Schreibweise notiert sind. Man vergleiche
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