Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

abzukürzen. Letztere Form der deskriptiven Darstellung von Mengen nennt man die Zermelo-Mengenkomprehension,
sie ist nach dem deutschen Mathematiker Ernst Zermelo
(1871-1953) benannt, dem Begründer der axiomatischen Mengenlehre. Damit vereinfacht
sich etwa die Gleichung von Satz 1.3.3 zu P(M ∪{a}) = P(M)∪{Y ∪{a} | Y ∈ P(M)}. □
Nach dieser Klärung der vereinfachenden Schreibweise bei direkten Produkten befassen
wir uns nun mit der Kardinalität von direkten Produkten von endlichen Mengen. Wir
erhalten durch relativ einfache Rechnungen das folgende Resultat (in dem wir explizit ein
Multiplikationssymbol verwenden; normalerweise wird die Multiplikation durch Hintereinanderschreiben
ihrer Argumente ausgedrückt).
1.4.3 Satz: Kardinalität von direkten Produkten
Für alle endlichen Mengen M und N gilt die Gleichung |M × N| = |M| · |N|.
Beweis: Wir unterscheiden zwei Fälle. Zuerst sei für die Menge M die explizite Darstellung
M := {a 1 , . . . , a n } mit n ≥ 1 Objekten angenommen. Dann rechnen wir die
Behauptung unter Verwendung der Kardinalitätsformel wie folgt nach:
n⋃
|M × N| = | {(a i , b) | b ∈ N}|
i=1
= |{(a 1 , b) | b ∈ N}| + . . . + |{(a n , b) | b ∈ N}|
= |N| + . . . + |N| (n-mal)
= |M| · |N|
Ist hingegen im zweiten Fall M = ∅, so folgt M × N = ∅ (darauf werden wir später noch
genau eingehen, wenn die entsprechenden logischen Grundlagen zur Verfügung stehen)
und dies zeigt diesen Fall, da
|M × N| = |∅| = 0 = 0 · |N| = |M| · |N|. □
Man beachte, dass M × (N × P) ≠ (M × N) × P gilt. Beispielweise bekommen wir für die
drei Mengen M := {1}, N := {a, b} und P := {, ♥} die Menge
M × (N × P) = {(1, (a, ♥)), (1, (a,)), (1, (b, ♥)), (1, (b,))},
also eine Menge von Paaren, deren zweite Komponenten wiederum Paare sind, während
(M × N) × P = {((1, a), ♥), ((1, b), ♥), ((1, a),), ((1, b),)}
bei der anderen Klammerung gilt. Hier sind die ersten Komponenten der Paare wieder
Paare. Allerdings gilt die Gleichheit |M × (N × P)| = |M| · |N| · |P| = |(M × N) × P|
nach dem obigen Satz im Fall von endlichen Mengen.
Wir kommen nun zu den Relationen, einen der fundamentalsten Begriffe der Mathematik.
Auf diesen Begriff stützt sich z.B., wie wir bald sehen werden, der Funktionsbegriff, also ein
weiterer der fundamentalsten Begriffe der Mathematik. Das Wort „Relation“ beschreibt
in der Umgangssprache Beziehungen zwischen Objekten, wie etwa in der Aussage
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