Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

An dieser Stelle ist noch eine Warnung angebracht. Die Erfahrung zeigt, dass bei Ketten
logischer Umformungen besonders Anfänger den Fehler machen, eine logische Äquivalenz
zu behaupten, auch wenn sie nur eine logische Implikation überprüft haben (und möglicherweise
auch nur eine solche gilt). Dies liegt oft daran, dass man für die andere logische
Implikation von rechts nach links oder von unten nach oben denken muss, was nicht dem
gewohnten Fluss entspricht. Es wird daher eindringlich empfohlen, bei einer behaupteten
logischen Äquivalenz A 1 ⇐⇒ A 2 wirklich beide logischen Implikationen A 1 =⇒ A 2 und
A 2 =⇒ A 1 zu prüfen.
Weitere wichtige Regeln beim Rechnen mit logischen Implikationen bzw. dem Beweisen
sind A 1 ∧ A 2 =⇒ A 1 und A 1 =⇒ A 1 ∨ A 2 , diese entsprechen der Einschließungseigenschaft
bei Mengen, der sogenannte Modus ponens A 1 ∧ (A 1 ⇒ A 2 ) =⇒ A 2 , sowie falsch =⇒ A
und A =⇒ wahr. Alle diese Eigenschaften sind wiederum Entsprechungen von aussagenlogischen
Formeln, die immer der Wert W liefern. Beispielsweise ist A 1 ∧ (A 1 ⇒ A 2 ) ⇒ A 2
die Entsprechung des Modus ponens.
2.3 Grundlagen der Prädikatenlogik
Die Aussagenlogik und deren Regeln zur logischen Äquivalenz und zur logischen Implikation
auf ihren Formeln stellen einen Rahmen dar, in dem die meisten der einem mathematischen
Beweis zugrundeliegenden logischen Schritte formalisiert werden können. Für
die gesamte Mathematik ist ihre Ausdrucksstärke aber viel zu schwach. Mathematik will
ja oft Aussagen über alle Objekte einer Menge machen oder auch darüber, ob ein Objekt
mit einer bestimmten Eigenschaft existiert. Dies ist in der Aussagenlogik nicht möglich.
Man braucht dazu noch die Allquantoren und die Existenzquantoren in Formeln, also alle
in Abschnitt 2.1 eingeführten Möglichkeiten (1) bis (7) zur Konstruktion von Formeln.
Um ein Gefühl für solche Formeln mit Quantoren zu bekommen, geben wir zuerst einige
Beispiele an, die Aussagen (Eigenschaften von Objekten) als Formeln beschreiben, bevor
wir dann später näher auf die Festlegung der entsprechenden Logik eingehen. Wie schon
bei der Aussagenlogik, so werden wir auch im Folgenden nicht in der formalen Strenge
vorgehen, wie es üblicherweise in einer Logikvorlesung der Fall ist.
2.3.1 Beispiele: Formeln der Prädikatenlogik
Es sei n eine natürliche Zahl. Die Formel A 1 (n), welche definiert ist als
∃ x : x ∈ N ∧ n = 2x,
beschreibt dann, dass n eine gerade natürliche Zahl ist. Ihre Kurzform gemäß der Festlegung
2.1.2, bei der der Existenzquantor direkt mit dem Enthaltenseinssymbol „∈“ kombiniert
wird, ist nachfolgend angegeben.
∃ x ∈ N : n = 2x
Es muss also die Festlegung des Wertes von Formeln so erfolgen, dass die Formel A 1 (n)
den Wert W genau dann hat, wenn n eine gerade Zahl ist. Die Gültigkeit von n ∈ N ist
dabei explizit angenommen.
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