Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

(2) Für alle A ∈ A gilt ¬A ∈ A.
(3) Für alle A 1 , A 2 ∈ A gelten auch A 1 ∧ A 2 ∈ A, A 1 ∨ A 2 ∈ A, A 1 ⇒ A 2 ∈ A und
A 1 ⇔ A 2 ∈ A.
Damit man nicht noch zusätzliche Elemente in die Menge A bekommt, die man nicht als
Formeln haben will, legt man noch fest:
(4) Es gibt keine Elemente in A außer denen, die durch die Regeln (1) bis (3) zugelassen
werden.
Zu Strukturierungszwecken sind bei den Anwendungen von (2) und (3) noch die Klammern
„(“ und „)“ erlaubt. Die Vorrangregeln der Formeln von A sind genau die, welche in
Definition 2.1.1 festgelegt wurden.
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Nachfolgend geben wir einige Beispiele an.
2.2.2 Beispiele: aussagenlogische Formeln
Es seien a, b, c atomare Aussagen, d.h. X := {a, b, c}. Dann sind
a ∧ b ⇒ a ∨ b ¬a ⇒ (b ⇒ a) a ∧ b ⇒ (a ∧ b) ∨ c
drei aussagenlogische Formeln. Verwendet man überflüssige Klammern, so schreiben sich
diese Formeln auch wie folgt:
(a ∧ b) ⇒ (a ∨ b) (¬a) ⇒ (b ⇒ a) (a ∧ b) ⇒ ((a ∧ b) ∨ c)
Zusätzliche Klammern machen manchmal Zusammenhänge klarer. Zu viele Klammern
können hingegen auch verwirren. Es ist deshalb sinnvoll, ein vernünftiges Mittelmaß zu
finden. Hingegen sind die Gebilde
a ⇒⇒ ⇒ (a ∧ b) (a ⇒ b)) ⇒ a ∨ b)
offensichtlich keine aussagenlogischen Formeln.
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Erinnern wir uns: Aussagen sind nach Aristoteles sprachliche Gebilde, von denen es Sinn
macht, zu sagen, ob sie wahr oder falsch sind. Man ordnet ihnen also einen Wahrheitswert
zu. Damit wir mit Wahrheitswerten formal argumentieren können, modellieren wir
sie durch spezielle Objekte.
2.2.3 Definition: Wahrheitswerte
Die Menge B := {W, F} heißt Menge der Wahrheitswerte. Dabei steht W für „wahr“
(oder gültig, richtig) und F für „falsch“ (oder nicht gültig, nicht richtig). □
Manchmal werden auch andere Bezeichnungen für Wahrheitswerte verwendet, etwa L oder
1 statt W und O oder 0 statt F. Um den Wahrheitswert (kurz: den Wert) einer aussagenlogischen
Formel bestimmen zu können, muss man nur wissen, welchen Wert die jeweils
darin vorkommenden atomaren Aussagen haben und wie diese Werte sich durch die sogenannten
Junktoren „¬“, „∧“, „∨“, „⇒“ und „⇔“ fortsetzen. Letzteres wird nachfolgend
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