Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

1.4.6 Festlegung: Spezifikation von Relationen
Ist R ⊆ M ×N eine Relation, so schreiben wir a R b statt (a, b) ∈ R. Auch die Spezifikation
verändern wir. Statt der definierenden Gleichung R := {(x, y) ∈ M × N | A(x, y)} führen
wir R in der Regel wie folgt ein: Die Relation R ⊆ M × N ist für alle x ∈ M und y ∈ N
erklärt durch x R y genau dann, wenn A(x, y) gilt.
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Eine Einführung der Ordnung auf der Menge N lautet nun also so: Die Relation ≤ von
N nach N ist für alle x, y ∈ N definiert durch x ≤ y genau dann, wenn es ein z ∈ N gibt
mit x + z = y. Wenn wir ab dem zweiten Kapitel die Sprache der Logik zur Verfügung
haben werden, dann wird die obige Phrase „x R y genau dann, wenn A(x, y) gilt“ zu einer
definierende Äquivalenz mit dem speziellen Zeichen „:⇐⇒“ werden, was die Lesbarkeit
nochmals verbessern wird.
Zwei sehr gebräuchliche Darstellungen von kleinen Relationen sind Pfeildiagramme und
Kreuzchentabellen. Wir geben nachfolgend ein kleines Beispiel an, das selbsterklärend ist.
Dazu sei M := {1, 2, 3, 4} unterstellt.
Relation {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)}
Pfeildiagramm 1 2
Kreuzchentabelle 1 2 3 4
1 X X
2 X X
3
4
3 4
Die letzte Darstellung wird in der Informatik insbesondere im Rahmen von Booleschen Feldern
verwendet, um Relationen in Programmiersprachen zu implementieren. Die Kreuzchentabelle
wird dann zu einem zweidimensionalen Feld der entsprechenden Programmiersprache,
jedes Kreuzchen zum Wert true (wahr) und jeder freie Platz zum Wert false
(falsch). Pfeildiagramme und Kreuzchentabellen dienen oft dazu, sich Eigenschaften zu
verdeutlichen. Bei solchen Vorgehensweisen sind sie sogar bei unendlichen Relationen anwendbar,
wenn klar ist, wie sich die endliche Zeichnung auf das Unendliche fortsetzt. Wir
kommen nun zu speziellen Relationen.
1.4.7 Definition: eindeutige und totale Relation
Es sei R ⊆ M × N eine Relation.
(1) R heißt eindeutig, falls für alle x ∈ M und y, z ∈ N gilt: Aus x R y und x R z folgt
y = z.
(2) R heißt total, falls für alle x ∈ M ein y ∈ N mit x R y existiert. □
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