Mathematik A für Informatikstudierende - Institut für Informatik

Die Konstruktion M ∪ N heißt Vereinigung von M und N, bei M ∩ N spricht man vom
Durchschnitt von M und N und M \ N ist die Differenz von M und N. □
In der obigen Definition bezeichnet das spezielle Symbol „:=“ die definierende Gleichheit.
Durch deren Verwendung wird ausgedrückt, dass – per Definition – die linke Seite
der entsprechenden Gleichung gleich der rechten Seite ist. Definierende Gleichheiten werden
in der Mathematik insbesondere dazu benutzt, neue Konstruktionen, neue Symbole,
Abkürzungen oder Namen für gewisse Dinge einzuführen.
Setzt man die in der obigen Definition eingeführten Konstruktionen auf Mengen (bzw. die
sie realisierenden Operationen „∪“, „∩“ und „\“ auf Mengen) mit dem Enthaltenseinssymbol
„∈“ in Beziehung, so gilt offensichtlich x ∈ M ∪ N genau dann, wenn x ∈ M gilt
oder x ∈ N gilt, es gilt x ∈ M ∩ N genau dann, wenn x ∈ M und x ∈ N gelten, und es
gilt x ∈ M \ N genau dann, wenn x ∈ M gilt und x ∈ N nicht gilt. Für die deskriptiven
Darstellungen von Mengen mittels Aussagen A 1 (x) und A 2 (x) hat man die Gleichung
für die Vereinigung solcher Mengen,
{x | A 1 (x)} ∪ {x | A 2 (x)} = {x | A 1 (x) oder A 2 (x)}
{x | A 1 (x)} ∩ {x | A 2 (x)} = {x | A 1 (x) und A 2 (x)}
für den Durchschnitt solcher Mengen und
{x | A 1 (x)} \ {x | A 2 (x)} = {x | A 1 (x) und nicht A 2 (x)}
für die Differenz solcher Mengen. In der letzten Darstellung besagt die Notation der rechten
Seite, dass die Aussage A 1 (x) gilt und die Aussage A 2 (x) nicht gilt.
Die eben eingeführten drei Konstruktionen auf Mengen kann man anschaulich sehr gut mit
eingefärbten oder schraffierten Bereichen in der Zeichenebene darstellen. Diese Zeichnungen
nennt man auch Venn-Diagramme. Der Name geht auf den englischen Mathematiker
John Venn (1834-1923) zurück. In solchen Diagrammen sind die Mengen durch umrandete
Flächen dargestellt, in der Regel sind die Umrandungen dabei Kreise oder Ellipsen. Bei
vielen Mengen sind aber auch beliebige geschlossene Kurven vorteilhaft. Das folgende Bild
zeigt das Venn-Diagramm des Durchschnitts M ∩ N zweier Mengen M und N. Hier werden
M und N durch Kreisflächen dargestellt und ihr Durchschnitt durch die eingefärbte
Fläche.
Analog kann man auch M ∪ N mittels Kreisflächen darstellen, wo die gesamte Fläche
eingefärbt ist, und auch M \ N, wo der Teil der M darstellenden Kreisfläche eingefärbt
8