Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Zusatzaufgaben:
Aufgabe 3.1.1:
k
k 2
k
Folgende Normen sind gegeben: || x ||
1: = ∑ | x | , || x || : = ( ( x )²) = ( x )²
k
|| x || : = max | x | . Zeigen für den Spezialfall n=2 die Ungleichung
∞
1≤k ≤n
|| x || ≤|| x || ≤ n || x || ≤ n || x || . Stelle dies auch graphisch dar.
∞
1 2
∞
n
k = 1
Die Normen sind für den Spezialfall n=2 wie folgt definiert:
2
n
k = 1 k = 1
1
∑ ∑ und
n
|| x || : = || ( x , x ) || = | x | + | x |
a)
1 1 2 1 2
b) || x || : = || ( x , x ) || = x + x
2 2
2 1 2 1 2
|| x || : = || ( x , x ) || =
∞
max{| x |,| x |}
c)
1 2 1 2
Nun müssen wir also die Ungleichung || x || ≤|| x1 || ≤ 2 || x ||
2≤ 2 || x || zeigen. Das bedeutet
2 2
genauer max{| x |,| x |} ≤ | x | + | x | ≤ 2 x + x ≤ 2max{| x |,| x |} .
1 2 1 2 1 2 1 2
Dies führt auf drei zu zeigende Einzel-Ungleichungen:
∞
∞
max{| x |,| x |} ≤ | x | + | x |
1.)
1 2 1 2
2.) | x | + | x | ≤ 2 x + x
3.)
2 2
1 2 1 2
2 x + x ≤ 2 max{| x |,| x |}
2 2
1 2 1 2
Zu 1.):
Hier führt eine Fallunterscheidung zum Ziel:
a) Sei zunächst | x1 | < | x2
| . Dann gilt max{| x1 |,| x2 |} = | x2
| und damit wie gewünscht
max{| x |,| x |} = | x | ≤ | x | + | x | , da | x | ≥ 0 .
1 2 2 1 2 1
b) Sei nun | x1 | > | x2
| . Dann gilt mit derselben Überlegung wie unter a):
max{| x |,| x |} = | x | ≤ | x | + | x | , da | x | ≥ 0
1 2 1 1 2 2
c) Der Fall | x1 | = | x2
| ist trivialerweise erfüllt. Denn dies lässt sich auf die Fälle a) oder b)
zurückführen.
Zu 2.):
2 2
Zu zeigen, dass | x | + | x | ≤ 2 x + x , ist schon etwas anspruchsvoller, aber auch relativ
1 2 1 2
leicht. Wir führen folgende Äquivalenzumformungen durch, womit die Ungleichung
bewiesen ist: