Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Hier erhalten wir x = − 3 2, y = − 4, λ = − 17 4 .
Für die hinreichende Bedingung benötigen wir die Hessematrix und folglich erstmal die
zweiten Ableitungen:
f ( x, y) = 2x + 12 y, f ( x, y) = 2
x
f ( x, y) = 12x + 4 y, f ( x, y) = 4
y
xx
yy
f ( x, y) = 12 = f ( x, y)
xy
yx
⎛ 2 12⎞
⇒ H : = ⎜ ⎟
⎝12 4 ⎠
Um zu entscheiden, ob diese Hessematrix positiv oder negativ definit ist, berechnen wir die
Eigenwerte durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
⎛ 2 − x 12 ⎞
PH
= det ⎜ ⎟ = (2 − x)(4 − x) −144
.
⎝ 12 4 − x⎠
0 = (2 − x)(4 − x) − 144 = 8 − 6 x + x² − 144 = x² − 6x
−136
⇒ x = 3± 9 + 136 = 3 ± 145
1,2
Es folgt daraus, dass die Hessematrix indefinit ist. Daher liegt an den besagten Stellen keine
Extrema vor.
Aufgabe 2:
Man berechnen y '( x ) der durch
mit 1 = h(0)
.
²
− 3 + xy + 2 = 0 implizit gegebenen Funktion y = g( x)
x y e
Explizit kann diese Gleichung nicht aufgelöst werden. Wir differenzieren beide Seiten der
Gleichung daher implizit unter Ausnutzung der Produkt –und Kettenregel:
xy²( x)
x − 3 y( x) + e + 2 = 0 ⇒
y x e y x x y x y x
xy²( x)
1− 3 '( ) + • (1 • ²( ) + • 2 ( ) '( )) = 0
xy²( x)
1− 3 y '( x) + e • ( y²( x) + x • 2 y( x) y '( x)) = 0
+ y e + − + xye y =
xy² xy ²
1 ² ( 3 2 ) ' 0
Daraus kann man die Ableitung y ' der Auflösung an allen Stellen ( x0, y
0)
berechnen. Wir
xy ²
xy² xy²
1 + y²
e
xy²
erhalten 1 + y² e + ( − 3+ 2 xye ) y ' = 0 ⇔ y ' = − . Hierbei muss − 3+ 2xye
≠ 0
−
xy²
3 + 2xye
²
sein. Dies ist aber für x = 0, y = 1 erfüllt, denn − 3+ 2xye
xy = −3 ≠ 0 . Wir berechnen also die
Ableitung, ohne y = g( x)
explizit anzugeben.