Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Aufgabe 3.2.1:
Seien f , g : X → R zwei stetige Funktionen auf dem metrischen Raum X . Für x ∈ X
werde definiert
ϕ( x) : = max( f ( x), g( x))
ψ ( x) : = min( f ( x), g( x))
Man zeige, dass die Funktionen ϕ,
ψ : X → R stetig sind.
Wenn man Kenntnisse aus der Analysis I verwendet, dann ist die Aufgabe sehr einfach.
Aus der Analysis I wissen wir nämlich, dass ϕ ( x) : = max( f ( x), g( x))
1
= ( ( ) ( ) | ( ) ( ) |)
2 f x + g x + f x − g x und ψ ( x ) : = min( f ( x ), g ( x ))
1
= ( ( ) ( ) | ( ) ( ) |)
2 f x + g x − f x − g x . Nun folgt die Behauptung aber gerade aus dem Satz, dass
die Addition von stetigen Funktionen wieder stetig ist. Damit ist alles gezeigt.
Aufgabe 3.2.2:
Sei W der offene Würfel im
n
R ,
1
n
W : = {( x ,..., x ) ∈ R :| x | < 1 für i = 1,..., n}
.
Man konstruiere einen Homöomorphismus von W auf die Einheitskugel
B(1,0) = { x ∈ R n :|| x || < 1} .
ξ
Die Abbildung ϕ : ( −1,1) → R, ξ ֏ ϕ( ξ ) : = ist ein Homöomorphismus. Hieraus folgt
1 − | ξ |
n
nun, dass auch die Abbildung φ : W = ( −1,1) → R,( x1,..., xn
) ֏ ( ϕ( x1
),..., ϕ( xn))
ein
n
Homöomorphismus ist. Anderseits ist aber auch die Abbildung vom R auf die
n
x
Einheitskugel, also f : R → B(1,0),
x ֏ , ein Homöomorphismus. Die Komposition
1 + || x ||
f φ : W → B(1,0)
liefert nun den gewünschten Homöomorphismus des Würfels auf die
Einheitskugel B(1,0) = { x ∈ R n :|| x || < 1} .
Aufgabe 3.2.3:
Man zeige, dass der Vektorraum C[ a, b ] aller stetigen Funktionen f :[ a, b]
→ R auf dem
kompakten Intervall [ a, b]
⊂ R mit der Supremumsnorm || f ||: = sup{| f ( x) |: x ∈ [ a, b]}
vollständig ist.
Anmerkung vorweg: So erhalten wir einen Banachraum.
• Der Nachweis des Vektorraums erfolgt mit einfachen Analysis I-Kenntnissen, nämlich,
dass die Addition von stetigen Funktionen wieder stetig ist etc.
• Dass || f ||: = sup{| f ( x) |: x ∈ [ a, b]}
eine Norm bildet, ist eigentlich trivial. Nur der
Nachweis der Dreiecksungleichung könnte eventuell Schwierigkeiten machen, deshalb
führen wir dies nochmal aus:
|| f + g || = sup{| f ( x) + g( x) |: x ∈ D} ≤ sup{| f ( x) | + | g( x) |: x ∈ D}
D
≤ sup{| f ( x) |: x ∈ D} + sup{| g( x) |: x ∈ D}
= || f || + || g ||
D
D
• Die Vollständigkeit zweigen wir jetzt. Vollständig bzgl. der Norm bedeutet, dass jede
Cauchy-Folge in diesem Raum konvergiert.
n
i