Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Aufgabe 3.2.4:
Aug dem Vektorraum C [ , ] 1
a b aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen f :[ a , b ] → R
werde folgende Norm definiert und eingeführt und zwar
|| f || : = sup{| f ( x) | + | f '( x) |: x ∈ [ a, b]}
.
C1
a) Man zeige, dass C [ , ] 1
a b mit dieser Norm vollständig ist.
b) Man zeige, dass die Abbildung D : C1[ a, b] → C[ a, b], f ֏ f ' stetig wird, wenn C [ a, b ] 1
mit der || • || C1
- Norm und C[ a, b ] mit der Supremumsnorm versieht.
a) Es ist zu zeigen, dass C [ , ] 1
a b mit der definierten Norm vollständig ist.
Hier geht man analog vor wie bei der Aufgabe 3.2.3.
Es sei ε > 0 beliebig vorgegeben und ( fn)
eine Cauchy-Folge in n∈N C [ , ] 1
a b , dann existiert
ein N ∈ N , sodass für alle n,
m ≥ N gilt:
|| f − f || < ε
n m C1
⇒ sup{| f ( x) − f ( x) | + | f '( x) − f '( x) |: x ∈ [ a, b]}
< ε
n m n m
⎧|| fn − fm || = sup{| fn( x) − fm( x) |: x ∈ [ a, b]}
< ε
⇒ ⎨
⎩|| fn ' − fm ' || = sup{| fn '( x) − fm
'( x) |: x ∈ [ a, b]}
< ε
Somit sind ( f
n)
und ( f
n
') Cauchy-Folgen in ( C[ a, b ],|| • ||) , die nach Aufgabe 3.2.3
konvergieren. Also gibt es f , g ∈ C[ a, b]
mit
⎧( fn) konvergiert gegen f bzgl. || • ||
⎨
⎩( fn
') konvergiert gegen g bzgl. || • ||
Da ( f
n)
bzw. ( f
n
') gleichmäßig gegen f bzw. g konvergieren, ist f differenzierbar und es
gilt
f ' = g . Damit gibt es ein N ∈N mit
⎧ ε
|| fn
− f || < ∀n ≥ N
⎪ 2
⎨
⎪ ε
|| fn
' − f ' || < ∀n ≥ N
⎪⎩ 2
Nun gilt weiter für alle n ≥ N :
|| f − f || = sup{| ( f − f )( x) | + | ( f ' − f ')( x) |: x ∈[ a, b]}
n C1
n n
≤|| f − f || + || f ' − f ' || < ε
n
n
Und damit konvergiert ( f
n)
gegen f bzgl. || • || C1
.
b) Es folgt unmittelbar aus den Ableitungsregeln, dass D eine lineare Abbildung ist. Damit
+
ist nur zu zeigen, dass es ein C ∈ R gibt, so dass || D( f ) || ≤ C || f || C1
für alle f ∈ C [ a, b]
.
1
Da aber für alle f C [ a, b]
1
∈ 1
|| D( f ) || = sup{| f '( x) : x ∈[ a, b]} ≤ sup{| f ( x) | + | f '( x) |: x ∈ [ a, b]} = 1 • || f || C
,
ist D stetig.