Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

| x | + | x | ≤ 2 x + x
2 2
1 2 1 2
⇔ (| x | + | x |)² ≤ 2( x + x ) = 2(| x | ² + | x | ²)
2 2
1 2 1 2 1 2
⇔ | x | ² + 2 | x || x | + | x | ² ≤ 2 | x | ² + 2 | x | ²
1 1 2 2 1 2
⇔ 0 ≤| x | ² − 2 | x || x | + | x | ²
1 1 2 2
⇔ 0 ≤ (| x | + | x |)²
1 2
Besser sollte man natürlich den Beweis so aufschreiben:
Es gilt trivialerweise 0 ≤ (| x1 | + | x2
|)² . Daraus folgt nun durch Addition von | x1 | ² + | x2
| ² :
| x | ² + 2 | x || x | + | x | ² ≤ 2 | x | ² + 2 | x | ²
1 1 2 2 1 2
⇒ (| x | + | x |)² ≤ 2( x + x ) = 2(| x | ² + | x | ²)
2 2
1 2 1 2 1 2
⇒ | x | + | x | ≤ 2 x + x
2 2
1 2 1 2
Damit ist auch 2.) gezeigt.
Zu 3.):
Auch
2 x + x ≤ 2 max{| x |,| x |} zeit man mit einer kleinen Fallunterscheidung:
2 2
1 2 1 2
a) Sei zunächst | x1 | < | x2
| . Dann gilt:
2 x + x ≤ 2 max{| x |,| x |} = 2 | x |
2 2
1 2 1 2 2
⇔ 2( x + x ) ≤ 4 | x | ²
2 2
1 2 2
⇔ 2 | x | ² + 2 | x | ² ≤ 4 | x | ²
1 2 2
⇔ 2 | x | ² ≤ 2 | x | ²
1 2
⇔| x | ² ≤| x | ²
1 2
⇔| x | ≤| x |
1 2
Dies ist die Voraussetzung. Damit ist alles gezeigt.
b) Sei zunächst | x1 | > | x2
| . Diesen Fall behandelt man analog. Wir führen ihn aber dennoch
nochmal durch:
2 x + x ≤ 2 max{| x |,| x |} = 2 | x |
2 2
1 2 1 2 1
⇔ 2( x + x ) ≤ 4 | x | ²
2 2
1 2 1
⇔ 2 | x | ² + 2 | x | ² ≤ 4 | x | ²
1 2 1
⇔ 2 | x | ² ≤ 2 | x | ²
2 1
⇔| x | ² ≤| x | ²
2 1
⇔| x | ≤| x |
2 1
Damit ist auch 3.) gezeigt.
Skizzierungen der abgeschlossenen Bälle für n=2:
• B1 x x
1
x x1 x2
(0,1) : = { :|| || ≤ 1} = { :| | + | | ≤ 1}