Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

) Sei f : R² → R , f ( x, y) : = x² + 12xy + 2 y²
gegeben. Zu berechnen sind die Extrema unter
der Nebenbedingung 4 x² + y² = 25 .
Wir verwenden die Lagrange-Multiplikationsregel.
Nach Lagrange existiert eine Funktion L( x, y, λ) = f ( x, y) + λg( x, y)
mit unserer
Nebenbedingung g( x, y) = 4 x² + y² − 25 .
Das bedeutet L( x, y, λ) = x² + 12xy + 2 y² + λ(4 x² + y² − 25) .
Wir bestimmen die partiellen Ableitungen:
L ( x, y, λ) = 2x + 12y + 8λx
x
L ( x, y, λ) = 12x + 4y + 2λ
y
y
L ( x, y, λ) = 4 x² + y² − 25
λ
Die notwendige Bedingung für das Vorhandensein von Extrema ist nun, dass
L ( x, y, λ) = L ( x, y, λ) = L ( x, y, λ) = 0 .
x
y
Wir erhalten also das Gleichungssystem:
0 = 2x + 12y + 8 λx = (2 + 8 λ) x + 12 y (1)
0 = 12x + 4y + 2 λ y = (4 + 2 λ) y + 12 x (2)
0 = 4 x² + y² − 25 (3)
λ
Dieses müssen wir nun lösen. Wir können (3) direkt nach x bzw. y auflösen. Das „Problem“
dabei ist, dass wir hier einige Fälle zu unterscheiden haben.
25 − y²
25 − y²
Es gilt zunächst x²
= ⇒ x = ± und analog y² = 25 − 4 x² ⇒ y = ± 25 − 4 x²
.
4 2
−12y
−12x
Aus Gleichung (1) und (2) folgen x = und y = .
2 + 8λ
4 + 2λ
Diese Gleichungen müssen nun kombiniert, eingesetzt und die Werte berechnet werden. Ich
führe dies nicht mehr für alle Fälle ausführlich aus, sondern gebe nur die Ergebnisse an.
25 − y²
1. Fall: x = und y = 25 − 4 x²
.
2
Hier erhalten wir x = 2, y = − 3, λ = 2 .
25 − y²
2. Fall: x = − und y = 25 − 4 x²
.
2
Hier erhalten wir x = − 2, y = 3, λ = 2 .
25 − y²
3. Fall: x = und y = − 25 − 4 x²
.
2
Hier erhalten wir x = 3 2, y = 3, λ = − 17 4 .
4. Fall:
25 − y²
x = − und y = − 25 − 4 x²
.
2