Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Sei ( fn)
⊂ n∈N D eine Cauchy-Folge. Zu zeigen ist entsprechend, dass diese beliebig
gewählte Cauchy-Folge in C[ a, b ] konvergiert und zwar bezüglich || • || D
.
Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N , so dass
sup{ f ( x) − f ( x)} = || f ( x) − f ( x) || < ε ∀m, n ≥ N und ∀x ∈ D (*) .
n m n m
Für jedes feste x ∈ D bildet ( fn( x))
n∈N eine Cauchy-Folge in R , die wegen der
Vollständigkeit der reellen Zahlen gegen eine reelle Zahl konvergiert. Dann existiert eine
Funktion f : D → R , welche punktweiser Limes von ( f ) ist. Bildet man in der
n
n∈N obigen Ungleichung (*) den Grenzübergang m → ∞ , so ergibt sich
|| f − f || < ε , ∀n
≥ N .
n
D
Dies bedeutet aber geraden, dass f
n
gleichmäßig gegen f konvergiert. Aus der
Dreiecksungleichung folgt auch die Beschränktheit von f, denn
|| f ||
D≤|| f − fN ||
D
+ || fN ||
D< ε + || fN ||
D
< ∞ (Wir haben hier Null addiert.). Aus der
Beschränktheit folgern wir also, dass der Grenzwert der Cauchy-Folge wieder in C[ a, b ]
liegt. Damit ist alles gezeigt.
Ein etwas anderer Weg:
Hier nochmal ein etwas anderer Weg bzw. eine andere Art, den Beweis der Vollständigkeit
aufzuschreiben:
f i i ∈N
Sei ε > 0 beliebig vorgegeben und ( )
ε
∃N ∈ N ∀k, m ∈N
gilt || fk
− fm
|| <
2
ε
⇒ ∀k, m ∈N
gilt sup{| ( fk
− fm)( x) |: x ∈ [ a, b]}
<
2
ε
⇒ ∀k, m ∈N
∀x ∈[ a, b] gilt | fk
( x) − fm( x) | <
2
⇒ ∃f ∈C[ a, b] ∀k ≥ N ∀x ∈[ a, b] gilt | f ( x) − f ( x) | < ε
sei eine Cauchy-Folge in C[ a, b ] . Dann gilt:
k
• Die Existenz einer Funktion f :[ a, b]
→ R mit f ( x) = lim f ( x)
für alle x ∈ [ a, b]
folgt
aus der Vollständigkeit von R .
• Die Stetigkeit von f folgt mit Analysis I-Kenntnissen über punktweise und gleichmäßige
Konvergenz. Da für alle x ∈ [ a, b]
und für alle k ≥ N gilt
ε
| fk ( x) − f ( x) | = lim
m→∞
| fk ( x) − fm( x) | ≤ < ε , ist ( f
k
) eine gleichmäßig konvergente
2
Folge stetiger Funktion, und damit ist die Grenzfunktion f ebenfalls stetig.
Dann ist auch sup{| f ( x) − f ( x) |: x ∈ [ a, b]}
< ε für alle k ≥ N , denn ( f − f ) ist stetig als
k
Summe stetiger Funktionen, und daher nimmt ( f − f ) auf dem kompakten Intervall [ a, b ]
Minimum und Maximum an, also wird auch das Supremum angenommen. Dann gilt
|| f − f || < ε für alle k ≥ N .
k
Damit ist die Vollständigkeit gezeigt.
k
k →∞
k
k