Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Zusatzaufgabe:
Seien I,
J ⊂ R kompakte Intervall und f : I × J → R eine stetige Funktion. Die Funktion
F : I → R werde definiert durch F( x) : = sup{ f ( x, y) : y ∈ J}
. Man zeige dass F stetig ist.
Sei ε > 0 und ( a, b)
∈ I × J beliebig. Da f stetig ist, existiert ein δ > 0 , sodass für alle
( x, y)
∈ I × J mit || ( x, y) − ( a, b) || < δ gilt || f ( x, y) − f ( a, b) || < ε .
Weiter gibt es zu jedem x ∈ I ein yx
∈ J mit f ( x, yx) = sup{ f ( x, y) : y ∈ J}
, da J kompakt
und f stetig ist. Dann gilt für alle x ∈ I mit | x − a | < δ :
| F( x) − F( a) | = | sup{ f ( x, y) : y ∈ J} − sup{ f ( a, y) : y ∈ J}
= | f ( x, y ) − f ( a, y ) | < ε
x
a
Warum gilt dies aber? Wir können ja viel behaupten. Gut. Beweisen wir die Aussage durch
einen Widerspruchsbeweis.
Annahme: Es gilt | f ( x, y ) − f ( a, y ) | ≥ ε für ein x ∈ I mit | x − a | < δ .
1.)
f ( x, y ) − f ( a, y ) ≥ ε ⇔ f ( x, y ) ≥ ε + f ( a, y )
x
x a x a
a
Da || ( x, y ) − ( a, y ) || = | x − a | gilt | f ( x, y ) − f ( a, y ) | < ε und somit f ( a, y ) > f ( a, y ).
x a x a x a
Dies ist aber der gesuchte Widerspruch, da f ( a, y ) = sup{ f ( a, y) : y ∈ J} und y ∈ J.
2.)
−( f ( x, y ) − f ( a, y )) ≥ ε ⇔ f ( a, y ) ≥ ε + f ( x, y )
x a a x
Da || ( x, y ) − ( a, y ) || = | x − a | gilt | f ( a, y ) − f ( x, y ) | < ε und somit f ( x, y ) > f ( x, y ).
a a a a a x
Dies führt aber genauso wie im Fall 1.) zu einem Widerspruch.
Damit haben wir die Stetigkeit von F mit dem Epsilon-Delta-Kriterium in a ∈ I
nachgewiesen, und da a ∈ I beliebig war, folgt die Behauptung.
a
x