Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Aufgabe 4:
xy
Die Funktion f ( x, y)
= ist im Nullpunkt unstetig. Wir müssen uns nur mit zwei
x²
e −1
verschiedenen Geraden annähern. Die Rechnung können wir aus Abschnitt 2.1 übernehmen.
Sei also zunächst einmal y = 0 : Wir erhalten
x • 0
lim
( x,0) →(0,0) f ( x,0) = lim( x,0) →(0,0) = lim
²
( x,0) (0,0)
0 0
x
→
= .
e −1
Nun sei y = x :
L'
Hospital
L'
Hospital
x²
2x
2
lim
( x, x) (0,0)
f ( x, x) = lim( x, x) (0,0)
= lim
² ( x, x) (0,0)
= lim
² ( x, x) (0,0)
= 1
→ → x x x² x²
e − 1 → 2xe →
2e + 4 x²
e
Daraus folgt, dass der Grenzwert nicht existieren kann. Insbesondere folgt damit die
Unstetigkeit im Nullpunkt.
Aufgabe 5:
Wir betrachten die Funktion f : R² → R , f ( x, y) : = | xy | .
Die Funktion ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar mit
∂f f ( t,0) − f (0,0) ∂f
(0,0) = limt→0
= 0, (0,0) = 0 .
∂x t ∂y
f ist aber an der Stelle (0,0) nicht differenzierbar, den sonst müsste Df (0,0) = 0 und
D f (0,0) = 0 für alle v ∈ R ² gelten. Allerdings ist z.B. für t ≠ 0 :
v
f ( t, t) − f (0,0) | t |
= = sign( t)
, so dass Dv
f (0,0) für v = e1 + e2
gar nicht existiert.
t t
Merke: Partielle Differenzierbarkeit impliziert in keinem Fall totale Differenzierbarkeit. Die
Umkehrung gilt jedoch.
Aufgabe 6:
Wir betrachten die Differentialgleichung
Separationsverfahren lösen wollen.
y = x • y ' , die wir ebenfalls mit dem
y ' 1 y ' 1
k
y = x • y ' ⇔ = ⇒ dx ln | y | ln | x | k y e x cx mit einer gewissen
y x
∫ = ⇒ = + ⇒ = =
y
∫
x
Konstanten c ∈ R, die natürlich von k ∈ R abhängt.
Aufgabe 7:
In einigen Fällen ist es möglich, die Lösung von der Differentialgleichung y '( x) = f ( x, y( x))
durch das Iterationsverfahren, das sich aus dem Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf
k −1
ergibt, zu berechnen. Wir betrachten die Gleichung y '( x) = kx y( x)
mit einem k ∈ N .
Sei η ∈ R beliebig und ξ : = 0 , also y(0)
= η .
Iterativ erhalten wir
y x y f t y t dt kt y t dt .
y(0)
= η
y
'( t
x
)
x
k −1
n+ 1( ) : = ( ξ ) + ∫ ( ,
n( )) = η + ∫ n( )
ξ
0