Lösung zum 8. Sonderübungsblatt

Aufgabe 3:
Zu bestimmen ist das Taylorpolynom T2 (( x, y );(1,1)) zweiter Ordnung von
2
x
g : R → R > 0
, f ( x, y) : = y an der Stelle ( x0, y
0) = (1,1) .
Hierzu benötigen wir die partiellen Ableitungen, die wir zunächst berechnen. Weiterhin
setzen wir in diese partiellen Ableitungen gleich die Stelle ( x0, y
0) = (1,1) ein.
x
f ( x, y) = y ⇒ f (1,1) = 1
∂ x ∂
x
fx( x, y) = y = (exp( x • ln y)) = exp( x • ln y) • ln y = ln y • y ⇒ fx(1,1) = 0
∂x
∂x
∂ x x−1
f
y
( x, y) = y = xy ⇒ f
y
(1,1) = 1
∂y
∂ ∂ x ∂ x ∂
x
fxx
( x, y) = ( y ) = (ln y • y ) = (ln y • exp( x • ln y)) = ln ² y • y ⇒ fxx
(1,1) = 0
∂x ∂x ∂x ∂x
∂ ∂ x ∂ x−1 x−2
f
yy
( x, y)
= ( y ) = ( xy ) = x( x −1) y ⇒ f
yy
(1,1) = 0
∂y ∂y ∂y
∂ ∂ ∂
1
fxy
( x, y) = ( y ) = (ln y • y ) = • y + ln( y) • xy = y + ln( y)
• xy
∂y ∂x ∂y y
= (1 + ln( )) ⇒ (1,1) = 1
x−1
y x y fxy
x x x x−1 x−1 x−1
∂ ∂ ∂ ∂
f x y y xy x x y y
∂x ∂y ∂x ∂x
x x−1
x−1 x−1
yx
( , ) = ( ) = ( ) = ( • exp(( − 1) • ln( )) = 1•
+ x ln( y)
y
= (1 + ln( )) ⇒ (1,1) = 1
x−1
y x y f
yx
Das zweite Taylorpolynom lautet nach Satz 12.4.10 allgemein:
T (( x, y);( x , y )) = f ( x , y ) + f ( x , y )( x − x ) + f ( x , y )( y − y ) +
2 0 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0
1 ( fxx ( x0 , y0 )( x − x0 )² + 2 fxy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + f
yy ( x0 , y0 )( y − y0
)²)
2!
Ein einfaches Einsetzen der obigen Werte liefert das gesuchte folgende Taylorpolynom
zweiter Ordnung.
T (( x, y);(1,1)) = f (1,1) + f (1,1)( x − 1) + f (1,1)( y − 1) +
2
x
1 ( fxx (1,1)( x − 1)² + 2 fxy (1,1)( x − 1)( y − 1) + f
yy (1,1)( y − 1)²)
2!
1
= 1+ 0 • ( x − 1) + 1 • ( y − 1) + (0• ( x − 1)² + 2• 1 • ( x −1)( y − 1) + 0 • ( y −1)²)
2
1
= 1+ y − 1+ • 2 • ( xy − x − y + 1) = y + xy − x − y + 1 = xy − x + 1
2
⇒ T 2
(( x, y);(1,1)) = xy − x + 1
Damit ist die Aufgabe gelöst.
y