Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

134 KAPITEL 5. ENTSCHEIDBARE UND AUFZÄHLBARE SPRACHEN
Beweis: Die universelle Turing-Maschine (die wir streng genommen noch explizit angeben
müßten) akzeptiert genau die Sprache L W . Damit ist L W aufzählbar.
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Folgerung 5.14
1. Das Halteproblem L H ist aufzählbar.
Beweisidee: Reduktion des Halteproblems auf das Wortproblem.
2. Das Komplement des Wortproblems L W und das Komplement des Halteproblems L H sind
nicht aufzählbar.
Beweisidee: Sonst wären L W und L H gemäß Satz 5.8 entscheidbar. Dies ist ein Widerspruch zu
Satz 5.9 bzw. Folgerung 5.10 (der Unentscheibarkeit von L W bzw. L H ).
Spannende Frage: Warum funktioniert das Diagonalisierungsargument aus dem Beweis der Unentscheidbarkeit
von L W (Satz 5.9) nicht auch für die Aufzählbarkeit?
Antwort: Aus einer Nicht-Terminierung, die einem “nein” entspricht, kann man kein “ja” machen!
“nein” bleibt damit “nein”. Also ergibt sich im “nein”-Fall kein Widerspruch.
Bemerkungen:
sind aufzählbar.
Alle Sprachen, die sich durch ein endliches Regelsystem beschreiben lassen,
- Eine Sprache, die durch eine beliebige Grammatik G erzeugt wird, ist aufzählbar. Die von
Typ-0-Grammatiken erzeugten Sprachen sind genau die aufzählbaren Sprachen.
- Die Sprache der in einem logischen Kalkül herleitbaren Formeln bzw. Ausdrücke ist aufzählbar.
- Insbesondere ist die Sprache aller allgemeingültigen Formeln der Prädikatenlogik 1. Stufe
(PL1) aufzählbar (aber nicht entscheidbar).
8 Überblick
Die nachfolgende Graphik gibt nochmal einen Überblick über die in diesem Kapitel diskutierten
Sprachklassen. Dabei ist eine Sprache co-aufzählbar, wenn ihr Komplement (engl. complement)
aufzählbar ist. Eine Sprache ist also genau dann entscheidbar, wenn sie sowohl aufzählbar als
auch co-aufzählbar ist.