Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

146 KAPITEL 6. BERECHENBARE FUNKTIONEN
Projektionsfunktionen π n i
: N n → N mit π n i (x 1 , ..., x n ) = x i (für 1 ≤ i ≤ n).
Konstruktionen
Einsetzen Wenn g : N k → N und h i : N n → N primitiv rekursive Funktionen sind, dann
ist auch f : N n → N mit f(x 1 , ..., x n ) = g(h 1 (x), . . . , h k (x)) primitiv rekursiv.
Primitive Rekursion Wenn g : N n → N und h : N n+2 → N primitiv rekursive Funktionen
sind, so ist auch f : N n+1 → N mit
f(x, 0) = g(x)
Terminierung
f(x, k + 1) = h(x, k, f(x, k)) Rekursion
ebenfalls primitiv rekursiv.
Ähnlich wie bei der (reinen) FOR-Schleife, ist bei bei der primitiven Rekursion die Anzahl
der rekursiven Aufrufe begrenzt: für f(x, n) wird f genau n mal rekursiv aufgerufen. Aller
primitiv rekursiven Funktionen sind also tolal. Und man kann sich relativ leicht überlegen, daß
die primitiv rekursiven Funktionen genau die FOR-berechenbaren Funktionen sind:
Satz 6.8 (Primitiv rekursiv = FOR-berechenbar) Die Menge der primitiv rekursiven Funktionen
ist genau die Menge der FOR-berechenbaren Funktionen.
Frage:
Welches Rekursionsprinzip liefert uns genau die WHILE-berechenbaren Funktionen?
Antwort:
4.2 Die µ-rekursiven Funktionen
Für eine Funktion: g : N n+1 → N bezeichnet µg : N n → N eine Funktion mit:
{ min{k ∈ N | g(x, k) = 0 ∧ g(x, j) ∈ N für alle j ≤ k}
(µg)(x) =
undefiniert, falls min nicht existiert
µg(x) bezeichnet also den kleinsten Index k, für den g(x, k) = 0 gilt und für den für alle j < k
der Wert g(x, j) definiert ist.
Der µ-Operator macht also aus einer n + 1-stelligen Funktion g eine n-stellige Funktion f = µg. Der
µ-Operator ist also streng genommen ein Funktional f = µ(g), wobei die Klammern meist weggelassen
werden – wie oben.
Definition 6.9 (µ-rekursive Funktionen)
Die Menge der µ-rekursive Funktionen ist induktiv definiert:
- Jede primitiv rekursive Funktion ist µ-rekursiv.
- Wenn g und h 1 , ..., h k µ-rekursiv sind, dann ist auch f : N n → N mit f(x) = g(h 1 (x), . . . , h k (x))
µ-rekursiv.
- Wenn g µ-rekursiv ist, dann ist auch die Funktion µg µ-rekursiv.
Satz 6.10 (µ-rekursive Funktionen = WHILE-berechenbar)
Die Menge der µ-rekursive Funktionen entspricht genau der Menge der WHILE-berechenbaren
Funktionen.