Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

22 KAPITEL 2. REGULÄRE SPRACHEN
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{q 0 } {q 0 , q 1 } {q 0 , q 1 , q 2 }
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{q 0 , q 1 , q 2 , q 3 }
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Abbildung 2.10. Ein deterministischer Automat für Wörter, die mit mindestens drei Einsern enden.
Die Übergangsrelation δ ′ wird wie folgt definiert: (P, a, R) ∈ δ ′ gdw. R = {r ∈ Q | ∃p ∈ P :
(p, a, r) ∈ δ)}; die Menge R ist also die Menge aller Zustände r, die von irgendeinem Zustand
p ∈ P aus mit einem a-Übergang erreichbar sind.
Die Menge der Endzustände von A ′ ist definiert durch: F ′ = {P ⊆ Q | P ∩ F ≠ ∅}; d.h.
diejenigen Teilmengen von Q, die mind. einen Endzustand enthalten.
Offensichtlich ist A ′ deterministisch (für P und a ist R eindeutig definiert) und vollständig.
Außerdem gilt ({q 0 }, w, P ) ∈ δ ′∗ gdw. P = {p ∈ Q | (q 0 , w, p) ∈ δ ∗ } (Beweis durch Induktion).
Damit gilt dann offensichtlich L(A) = L(A ′ ).
Insgesamt haben wir also in vier Schritten aus einem beliebigen endlichen Automaten effektiv
einen äquivalenten deterministischen und vollständigen Automaten konstruiert.
Achtung: Wir haben nirgends explizit dafür gesorgt, daß der resultierende Automat vollständig ist. Dies
ist aber ein Nebeneffekt der Potenzautomatenkonstruktion. Denn für jede Teilmenge P ⊆ Q und jedes
Zeichen a ∈ Σ gibt es ein R ⊆ Q mit (P, a, R) ∈ δ ′ . Wenn es von keinem p ∈ P einen a-Übergang
gibt, dann gilt R = ∅ (vgl. Definition von δ ′ ).
Bemerkungen:
- Im allgemeinen hat der Potenzautomat (wie wir ihn formal definiert haben) auch Zustände,
die nicht vom Startzustand aus erreichbar sind (das können sehr viele sein). Deshalb
wird der Potenzautomat in der Praxis ausgehend vom Startzustand konstruiert und es
werden nur solche Zustände erzeugt, die vom Startzustand aus erreichbar sind.
- Wenn eine Sprache von einem endlichen Automaten akzeptiert wird, dann können wir im
folgenden „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ (o.B.d.A) davon ausgehen, dass sie
von einem deterministischen und vollständigen endlichen Automaten akzeptiert wird.
1.4 Einfache Abschlußeigenschaften
Frage: Welche Operationen auf von endlichen Automaten erkannten Sprachen liefern wieder
eine von einem endlichen Automaten erkannte Sprache ?
Satz 2.6 (Abschluß unter ∩, ∪, ¬, ◦ und ∗ ) Seien L 1 und L 2 zwei Sprachen, die von einem
endlichen Automaten akzeptiert werden. Dann werden die Sprachen
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