Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

4. ENTSCHEIDBARKEITSEIGENSCHAFTEN 89
Dieses Schema kann man derart erweitern, daß nicht nur entschieden wird, ob ein Wort zur
erzeugten Sprache der Grammatik gehört, sondern auch der entsprechende Ableitungsbaum
erzeugt wird.
Beispiel 3.10
Wir überprüfen mit Hilfe des CYK-Algorithmus, ob das Wort w = abbb von der folgenden
Grammatik G erzeugt wird:
S → AA
A → CS | SS
A → b
C → a
Wegen S ∈ V 1,4 = {S} gilt w ∈ L(G).
w = a b b b
{C}
∅ {A}
{A} {S} {A}
{S} ∅ {S} {A}
In dem Beispiel haben die Mengen V i,j höchstens ein Element; das liegt aber an der speziellen Struktur
des Beispiels; im allgemeinen können die Mengen V i,j mehr als ein Element enthalten.
4.2 Unentscheidbarkeitsresultate
Viele Probleme, die für reguläre Sprachen entscheidbar sind, sind für kontextfreie Sprachen
breits unentscheidbar.
Satz 3.31 (Unentscheidbare Eigenschaften kontextfreier Sprachen)
Die folgenden Eigenschaften für kontextfreie Sprachen sind nicht entscheidbar:
- L(G) = Σ ∗
- L(G 1 ) = L(G 2 ) (Äquivalenz)
- L(G 1 ) ⊆ L(G 2 ) (Inklusion)
- L(G 1 ) ∩ L(G 2 ) = ∅ (Disjunktheit)
- L(G 1 ) ∩ L(G 2 ) kontextfrei ?
- L(G) regulär ?
- L(G) kontextfrei ?
Beweis: Der Beweis ist uns im Moment noch nicht möglich. Das wesentliche Argument für die
Unentscheidbarkeit der Disjunktheit ist, dass wir die “gültigen Berechnungen” einer Turing-
Maschine als Durchschnitt zweier kontextfreier Grammatiken formulieren können. Wir kommen
später darauf zurück (siehe Satz 5.12 und Übungsblatt 11, Aufgabe 2 und Übungsblatt 12,
Aufgabe 1.c).
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