Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

1. ENDLICHE AUTOMATEN 23
1. L 1 ∪ L 2 ,
2. L 1 ∩ L 2 ,
3. L 1 (d.h. L 1 = Σ ∗ \ L 1 )
4. L 1 ◦ L 2 und
5. L ∗ 1
ebenfalls von einem endlichen Automaten akzeptiert.
Die Existenz dieser Automaten ist effektiv! D.h. wir können aus den Automaten für L 1 und L 2 jeweils
auch einen Automaten konstruiert, der die oben genannten Sprachen akzeptiert.
Beweis: Hier werden wir nur 1. und 4. beweisen, die anderen Beweise werden wir in der Übung
führen. Für die Beweise von 2., 3. und 5. geben wir nach dem Beweis ein paar Hinweise.
L 1 ∪ L 2 :
Sei A 1 = (Q 1 , Σ, δ 1 , I 1 , F 1 ) ein endlicher Automat mit L 1 = L(A 1 ) und A 2 = (Q 2 , Σ, δ 2 , I 2 ,
F 2 ) ein endlicher Automat mit L 2 = L(A 2 ). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gilt Q 1 ∩
Q 2 = ∅. Wir definieren:
A = (Q 1 ∪ Q } {{ } 2 , Σ, δ 1 ∪ δ 2 , I } {{ } 1 ∪ I 2 , F } {{ } 1 ∪ F 2 ) } {{ }
Q
δ I F
Offensichtlich gibt es für jedes w ∈ Σ ∗ genau dann ein p ∈ I und ein q ∈ F mit (p, w, q) ∈ δ ∗ ,
wenn p 1 ∈ I 1 und ein q 1 ∈ F 1 mit (p 1 , w, q 1 ) ∈ δ ∗ 1 existieren oder wenn p 2 ∈ I 2 und q 2 ∈ F 2
mit (p 2 , w, q 2 ) ∈ δ ∗ 2 existieren. Also gilt L(A) = L(A 1 ) ∪ L(A 2 ).
L 1 ◦ L 2 :
Seien A 1 und A 2 wie oben definiert. Wir definieren:
Dann gilt L(A) = L(A 1 ) ◦ L(A 2 ).
A = (Q 1 ∪ Q } {{ } 2 , Σ, δ 1 ∪ (F 1 × {ε} × I 2 ) ∪ δ 2 , I
} {{ } 1 , F }{{} 2 ) }{{}
Q
δ
I F
Redaktioneller Hinweis: Zu den Konstruktionen im Beweis sollten noch die entsprechenden Graphiken
hinzugefügt werden.
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