Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

72 KAPITEL 3. KONTEXTFREIE SPRACHEN
A → Aα 1 | Aα 2 | . . . | Aα n
A → β 1 | β 2 | . . . | β m
A → β 1 | β 2 | . . . | β m
A → β 1 B | β 2 B | . . . | β m B
B → α 1 B | α 2 B | . . . | α n B
B → α 1 | α 2 | . . . | α n
A
A
A α i1
A α in−1
A α in
β j
α i0
A
β j
B
B
α in−1 B
α in
α i1
B
α i0
Abbildung 3.5. „Rotation"des Ableitungsbaumes
wobei B ∉ (V ∪ Σ) ∗ eine neue Variable ist. Für die Grammatik G ′ = (V ∪ {B}, Σ, P ′ , S) gilt
dann L(G) = L(G ′ ).
Beweis: Formalisierung der Vorüberlegung (vgl. Abb. 3.5).
□
Bemerkung: Die Struktur der Ableitungsbäume für dasselbe Wort unterscheiden sich in G
und in G ′ deutlich!
Überführung in GNF: Die Überführung einer Grammatik in Greibach-Normalform ist eine
geschickte Kombination der Transformationen aus Lemma 3.14 und Lemma 3.15. Insgesamt
ähnelt dieses Verfahren, dem Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems (Gaußelimination
und Rückwärtssubstitution). Wir erklären dieses Verfahren zunächst anhand eines
Beispiels; das Verfahren selbst wird dann im Beweis von Satz 3.16 angegeben.
S → AB
A → AA
A → a
B → b
B → S
S → AB
A → a C → A
A → aC C → AC
B → b
B → SA
S → AB
A → a C → A
A → aC C → AC
B → b
B → aBA
B → aCBA
(a)
(b)
(c)
Abbildung 3.6. Überführung einer Grammatik in Greibach-Normalform: Schritt 1