Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

Kapitel 3
Kontextfreie Sprachen
1 Kontextfreie Grammatiken
Reguläre Sprachen stellen eine einfache Möglichkeit dar, Sprachen zu definieren und auch zu
analysieren. Außerdem haben sie sehr schöne Eigenschaften: Sie sind unter vielen Operationen
abgeschlossen, und die meisten Probleme sind für reguläre Sprachen entscheidbar.
Allerdings sind viele praktisch relevante Sprachen nicht regulär. Beispielsweise ist die Sprache
der korrekten Klammerausdrücke nicht regulär. Generell lassen sich verschachtelte Strukturen
(beliebiger Tiefe) nicht als reguläre Sprache formulieren, da man mit regulären Sprachen nicht
(beliebig weit) zählen kann. Verschachtelte Strukturen kommen aber in vielen Bereichen der
Informatik vor (z.B. in Ausdrücken oder bei ineinander verschachtelten Schleifen oder Alternativen).
In diesem Abschnitt betrachten wir nun eine Sprachklasse, die auf die Definition verschachtelter
Strukturen zugeschnitten ist: die kontextfreien Sprachen.
1.1 Motivation und Definition
Ähnlich wie bei regulären Sprachen, gibt es verschiedene Charakterisierungen von kontextfreien
Sprachen: eine über das Automatenmodell und eine über die Grammatik. Für kontextfreie
Sprachen ist die einfachste Charakterisierung wohl die über kontextfreie Grammatiken.
Kontextfreie Grammatiken oder Varianten davon (z.B. die Backus-Naur-Form) sind DAS Mittel
zur Beschreibung der Syntax von Programmiersprachen (oder eines wesentlichen Anteils
davon).
Historisch wurden kontextfreie Grammatiken zunächst von einem Linguisten definiert (N. Chomsky).
Definition 3.1 (Kontextfreie Grammatik) Eine Grammatik G = (V, Σ, P, S) heißt kontextfrei,
wenn gilt P ⊆ V × (V ∪ Σ) ∗ . Eine Sprache L heißt kontextfrei, wenn es eine kontextfreie
Grammatik G gibt, die L erzeugt (d.h. L = L(G)).
Jede Produktion einer kontextfreien Grammatik hat also die Form A → α mit A ∈ V und α ∈ (V ∪Σ) ∗ .
Da α = ε nicht ausgeschlossen ist, können die Produktionen auch die Form A → ε haben.
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