Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

1. ENDLICHE AUTOMATEN 17
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Endliche Automaten
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mit einem
Startzustand
alphabetisch
buchstabierend
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deterministisch
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deterministisch &
vollständig
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Abbildung 2.5. Syntaktische Inklusionsbeziehungen zwischen den Spezialfällen.
Bemerkungen:
1. Abbildung 2.5 gibt eine Übersicht über die verschiedenen Spezialfälle endlicher Automaten.
Die Abbildung zeigt, die Inklusionsbeziehungen, die sich aufgrund der syntaktischen
Einschränkungen ergeben.
2. Für einen Automaten mit (genau) einem Startzustand q 0 ∈ Q schreiben wir auch A =
(Q, Σ, δ, q 0 , F ) anstelle von A = (Q, Σ, δ, {q 0 }, F ).
3. Endliche Automaten ohne Einschränkungen oder mit den Einschränkungen 1 - 3 aus Definition
2.3 werden auch nicht-deterministische endliche Automaten (NEA) genannt.
Achtung: Hier gibt es einen kleinen sprachlichen Stolperstein: Die Menge aller Automaten
nennen wir auch nicht-deterministische Automaten. Wenn wir das Komplement der Menge der
deterministischen Automaten meinen, nennen wir sie nicht deterministische Automaten. Nichtdeterministische
Automaten können dagegen deterministisch sein!
Den Bindestrich übersieht man leicht; hören kann man ihn ohnehin nicht. In der Praxis ist
dies aber selten ein Problem, da es sich meist aus dem Kontext ergibt, ob wir über die nichtdeterministischen
Automaten (also die Menge aller endlichen Automaten) oder die nicht deterministischen
(also die Menge aller endlichen Automaten ohne die deterministischen Automaten)
reden.
4. Alphabetische Automaten können, im Gegensatz zu den buchstabierenden Automaten,
sogenannte ε-Übergänge enthalten: p ε → q.
5. Bei deterministischen Automaten wird δ meist als partielle Abbildung δ : Q × Σ → Q
aufgefaßt; bei vollständigen deterministischen Automaten ist δ : Q × Σ → Q eine totale
Abbildung. Wir sprechen dann auch von einer partiellen bzw. totalen Übergangsfunktion.
In manchen Lehrbüchern wird die Vollständigkeit bereits in der Definition des deterministischen
Automaten verlangt. Da die Vollständigkeit und der Determinismus zwei unabhängige Konzepte
sind, haben wir sie separat formalisiert.