Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

40 KAPITEL 2. REGULÄRE SPRACHEN
Spiegelung
Idee: Vertausche die Start- und Endzustände miteinander und drehe die Kanten der Übergangsrelation
um. Aus einem Automaten:
konstruiert wir also den Automaten:
a
q 1 0 a 2 . . . a n−1
a n
r
q 0 . . .
a 1
a 2
a n−1
a n
r
Achtung: Bei nicht alphabetischen Automaten müssen die Wörter an den Kanten umgedreht
werden. Wir können aber ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass der Automat
alphabetisch ist.
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Bemerkung: Alle Konstruktionen bis auf die Quotientenbildung sind effektiv. Wir werden in
der Übung (Blatt 5, Aufgabe 1c.) beweisen, dass L 1 /L 2 effektiv existiert, wenn auch L 2 regulär
ist.
3.2.3 Anwendung der Abschlußeigenschaften
Die Abschlußeigenschaften von regulären Sprachen können wir nun anwenden, um nachzuweisen,
daß bestimmte Sprachen regulär sind. Dazu betrachten wir ein Beispiel.
Beispiel 2.11
Für jede reguläre Sprache L ist die Sprache L ′ , in der aus jedem Wort der Sprache L jeder
zweite Buchstabe gestrichen wird, auch regulär.
Beweis:
Wir definieren ein Alphabet Σ ′ = {a ′ , b ′ , c ′ , . . . }, in dem jedes Zeichen aus Σ mit einem Strich
versehen ist. Außerdem definieren wir h : Σ ∪ Σ ′ → Σ ∗ mit h(x) = x für x ∈ Σ und h(x ′ ) = x
für x ′ ∈ Σ ′ .
- Dann ist nach Satz 2.13 die Sprache h −1 (L) regulär. Die Sprache h −1 (L) enthält alle
Wörter aus L, wobei die Buchstaben an beliebigen Stellen mit Strichen versehen werden
können.
- Dann ist nach Satz 2.6 die Sprache h −1 (L) ∩ ((ΣΣ ′ ) ∗ ∪ (ΣΣ ′ ) ∗ Σ) ebenfalls regulär. Diese
Sprache enthält genau die Wörter aus L, wobei jedes zweite Zeichen mit einem Strich
versehen ist.
- Nun definieren wir g : Σ ∪ Σ ′ → Σ ∗ mit mit g(x) = x für x ∈ Σ und g(x ′ ) = ε für
x ′ ∈ Σ ′ . Der Homomorphismus g löscht also genau die Buchstaben, die mit einem Strich
versehen sind.
- Dann ist nach Satz 2.13 die Sprache L ′ = g(h −1 (L) ∩ ((ΣΣ ′ ) ∗ ∪ (ΣΣ ′ ) ∗ Σ) regulär. Die
Sprache L ′ enthält also genau alle Wörter aus L, wobei in jedem Wort jeder mit einem
Strich versehene Buchstabe (d.h. jeder zweite Buchstabe) gelöscht wurde.
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