Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

1. KONTEXTFREIE GRAMMATIKEN 73
Beispiel 3.6
Wir werden im folgenden zeigen, wie man die Grammatik aus Abb. 3.6 (a) in Greibach-Normalform
überführt:
1. Schritt: Zunächst legen wir eine Reihenfolge auf den Variablen der Grammatik fest: S <
A < B (wir haben die Regeln der Grammatik bereits gemäß dieser Reihenfolge sortiert).
Im ersten Schritt sorgen wir nun dafür, daß auf der rechten Seite aller Regeln einer Variablen
X als erstes Symbol entweder ein Terminalzeichen oder eine Variable Y mit Y > X
vorkommt.
Dazu gehen wir der Reihe nach die Regeln der Variablen S, A und B durch:
S: Die (einzigen) Regel für S ist bereits in der gewünschten Form (das erste Symbol
der rechten Seite ist A und es gilt A > S).
A: Die Regel A → AA hat noch nicht die gewünschte Form, da A ≯ A (die Regel
ist linksrekursiv). Deshalb führen wir eine Rotation der Regeln für A (Lemma 3.15)
durch mit A α = {A}, A β = {a} und der neuen Variablen C. Dann erhalten wir die
Grammatik aus Abb. 3.6 (b).
In dieser Grammatik haben nun auch die Regeln für A die gewünschte Form.
B: Die Regel B → SA hat noch nicht die gewünschte Form, da S < B. Um diese
Regel in die gewünschte Form zu bringen, substituieren wir S in dieser Regel durch
seine rechten Seiten (Lemma 3.14). Wir erhalten also die Regel B → ABA. Diese
Regel ist leider immer noch nicht in der gewünschten Form 2 . Wir substituieren also
nochmals (diesmal die rechten Seiten von A) für das erste A und erhalten die zwei
Regeln B → aBA und B → aCBA. Nach diesen beiden Schritten erhalten wir die
Grammatik aus Abb. 3.6 (c).
Diese Grammatik ist bereits in der Form, die wir im 1. Schritt erreichen wollten. Insbesondere
sind die ersten Zeichen der rechten Seiten von B bereits Terminalzeichen.
Es hätte auch passieren können, daß nach der Substitution von A auf der rechten Seite von B
eine Regel der Form B → Bα entsteht. Diese Linksrekursion hätten wir wieder durch Rotation
beseitigen müssen.
2. Schritt: Im zweiten Schritt sorgen wir dafür, daß in allen Regeln für S, A und B das erste
Zeichen auf der rechten Seite ein Terminalzeichen ist. Für die letzte Variable muß dies
nach dem ersten Schritt bereits der Fall sein. Für die anderen Variablen erreichen wir
dies, indem wir von unten nach oben (also in umgekehrter Reihenfolge der Variablen)
substituieren.
Im Beispiel müssen wir nur noch das erste A in der rechten Seite von S durch Substitution
beseitigen. Wir erhalten die Grammatik aus Abb. 3.7 (d).
3. Schritt Als letztes müssen wir noch die Regeln für die neu hinzugefügten Variablen betrachten.
Im Beispiel müssen wir also die Variable A in den rechten Seiten von C substituieren
und erhalten die Grammatik aus Abb. 3.7 (e).
2 Die Regel B → ABA ist aber schon etwas „besser“, als B → SA, da A > S.