Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

70 KAPITEL 3. KONTEXTFREIE SPRACHEN
undα ∈ V ∗ besser geeignet, da man sich bei der Wahl der nächste Regel am nächsten Zeichen a
des Wortes orientieren kann. Dabei wird in jedem Ableitungsschritt genau ein Terminalzeichen
erzeugt. Für eine Grammatik mit Produktionen der obigen Form sagen wir, die Grammatik sei
in Greibach-Normalform.
Trotz dieser praktisch klingenden Motivation ist die Greibach-Normalform nicht von großem praktischen
Nutzen. Sie erleichtert uns jedoch die Herstellung des Zusammenhangs zwischen kontextfreien
Sprachen und Kellerautomaten.
Vorbereitende Überlegungen Für den Beweis der Existenz der Greibach-Normalform benötigen
wir einige weitere äquivalente Umformungen von Grammatiken.
Beispiel 3.5
Die erste Produktion der Grammatik auf der linken Seite ist nicht in Greibach-Normalform.
Offensichtlich wird aber das B der rechten Seite dieser Produktion entweder durch b oder bA
ersetzt; wir können also die Produktion A → BC durch zwei Produktionen A → bC und
A → bAC ersetzen, wie dies in der rechten Grammatik dargestellt ist.
A → BC
B → b | bA
C → c | cB
A → bC | aAC
B → b | aA
C → c | cB
Durch diese Transformation werden zwei Ableitungsschritte der linken Grammatik A ⇒ BC ⇒
bC bzw. A ⇒ BC ⇒ bAC zu einem Ableitungsschritt A ⇒ bC bzw. A ⇒ bAC zusammengefaßt.
Diese Zusammenfassung von Ableitungsschritten durch Substitution einer Variablen durch alle
ihre rechten Seiten können wir noch etwas allgemeiner wie folgt formulieren:
Lemma 3.14 (Substitution auf der rechten Seite einer Produktion) Sei G = (V, Σ, P, S) eine
kontextfreie Grammatik, A → αBβ eine Produktion von G mit α, β ∈ (V ∪ Σ) ∗ und
B ∈ V . Sei R B = {γ ∈ (V ∪ Σ) ∗ | B → γ ∈ P } die Menge aller rechten Seiten von B
und P ′ = (P \ {A → αBβ}) ∪ {A → αγβ | γ ∈ R B } und G ′ = (V, Σ, P ′ , S). Dann gilt
L(G ′ ) = L(G).
Beweis: Wir beweisen die Gleichheit, indem wir die Inklusion in beide Richtungen zeigen:
„⊆“: Wir zeigen, daß mit w ∈ L(G ′ ) auch w ∈ L(G) gilt. Da G alle Produktionen aus G ′ bis
auf die Produktionen A → αγβ mit γ ∈ R B enthält, genügt es zu zeigen, daß wir diese
Produktion in G simulieren können: A ⇒ G αBβ ⇒ G αγβ.
„⊇“: Wir zeigen, daß mit w ∈ L(G) auch w ∈ L(G ′ ) gilt. Dazu betrachten wir einen Ableitungsbaum
für w in G. Wenn in dem Baum die Produktion A → αBβ nicht (als Verzweigung)
vorkommt, ist der Baum auch ein Ableitungsbaum in G ′ (weil G ′ alle Produktionen
von G außer A → αBβ enthält), und damit w ∈ L(G ′ ).
Wir betrachten nun einen Ausschnitt eines Baumes, in dem die Produktion A → αBβ als
Verzweigung vorkommt. Ein solcher Teilausschnitt ist auf der linken Seite von Abb. 3.4
dargestellt. Dabei muß für γ eine Produktion B → γ existieren. Also ist A → αγβ