Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

6. ERWEITERUNGEN ENDLICHER AUTOMATEN 53
Bemerkung: Beim Moore-Automaten führt jede Eingabe (auch ε) auch zu einer Ausgabe
x ∈ ∆ ∗ mit |x| ≥ 1! Trotzdem sind Mealy- und Moore-Automaten im wesentlichen äquivalent:
Satz 2.22
1. Für jeden Moore-Automaten A gibt es einen Mealy-Automaten A ′ derart, daß für alle
Wörter w ∈ Σ die Antwort des Mealy-Automaten A ′ auf w das Wort v ∈ ∆ ∗ ist, wenn $v
die Antwort des Moore-Automaten A auf w ist.
2. Für jeden Mealy-Automaten A ′ gibt es einen Moore-Automaten A derart, daß für alle
Wörter w ∈ Σ die Antwort des Mealy-Automaten A ′ auf w das Wort v ∈ ∆ ∗ ist, wenn $v
die Antwort des Moore-Automaten A auf w ist.
Beweis:
Idee: Die Überführung eines Moore-Automaten in einen entsprechenden Mealy-Automaten
ist einfach. Das Zeichen, das im Moore-Automaten beim Erreichen des Zustandes ausgegeben
wird, wird im Mealy-Automaten bereits beim Übergang in diesen Zustand ausgegeben.
Die Überführung eines Mealy-Automaten in einen entsprechenden Moore-Automaten ist etwas
komplizierter, da bei Übergängen in denselben Zustand verschiedene Ausgaben möglich sind.
Daher müssen die Zustände entsprechend repliziert werden (für jede mögliche Ausgabe eine
eigene Version des Zustandes).
Ein ausführlicher Beweis wird in der Übung geführt (Blatt 7, Aufgabe 1).
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Bemerkung: Mealy- und Moore-Automaten sind nicht zum Erkennen von Sprachen gedacht,
sondern zum Berechnen (von sehr einfachen) Funktionen. Deshalb kommen sie auf unserer
“formal-sprachlichen Landkarte” nicht vor. Natürlich gibt es Analogien zu den endlichen Automaten
(Rabin-Scott-Automaten). Aber es gibt auch deutliche Unterschiede. Beispielsweise unterscheidet
sich die Ausdrucksmächtigkeit der deterministischen und der nicht-deterministische
Automaten mit Ausgabe.