Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I
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86 KAPITEL 3. KONTEXTFREIE SPRACHEN<br />
3.2 Abschlußeigenschaften kontextfreier <strong>Sprachen</strong><br />
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Abschlußeigenschaften der kontextfreien <strong>Sprachen</strong>.<br />
Wir betrachten dieselben Operationen wie für reguläre <strong>Sprachen</strong> – allerdings sind die kontextfreien<br />
<strong>Sprachen</strong> nicht unter allen Operationen abgeschlossen.<br />
Zunächst die guten Nachrichten:<br />
Satz 3.26 (Abgeschlossenheit kontextfreier <strong>Sprachen</strong>) Die kontextfreien <strong>Sprachen</strong> sind abgeschlossen<br />
unter<br />
Operation<br />
Beweisidee<br />
Vereinigung S → S 1 | S 2<br />
Konkatenation S → S 1 S 2<br />
Kleene’sche Hülle<br />
Substitution<br />
Homomorphismen<br />
Inversen Homomorphismen<br />
S → ε | S 1 S<br />
A → aBCdE A → S a BCS d E<br />
Spezialfall der Substitution<br />
Simulation des Kellerautomaten auf<br />
h(w), wobei h(w) zeichenweise berechnet<br />
wird <strong>und</strong> in einen endlichen<br />
Puffer zwischengespeicher wird.<br />
Spiegelung A → x 1 . . . x n A → x n . . . x 1<br />
Leider gibt es auch ein paar schlechte Nachrichten:<br />
Satz 3.27 Die kontextfreien <strong>Sprachen</strong> sind nicht abgeschlossen unter:<br />
Operation<br />
Beweisidee<br />
Durchschnitt Gegenbeispiel: Für die kontextfreien <strong>Sprachen</strong> L 1 =<br />
a n b n c ∗ <strong>und</strong> L 1 = a ∗ b n c n ist der Durchschnitt L 1 ∩<br />
L 2 = a n b n c n nicht kontextfrei.<br />
Komplement<br />
Wären die kontextfreien <strong>Sprachen</strong> unter Komplement<br />
abgeschlossen, müßten sie auch unter Durchschnitt<br />
abgeschlossen sein, da gilt L 1 ∩ L 2 = L 1 ∪ L 2 .<br />
Quotientenbildung Ohne Beweis. In der Übung (Blatt 9 Aufgabe 3)<br />
werden wir aber beweisen, dass kontextfreie <strong>Sprachen</strong><br />
nicht effektiv unter der Quotientenbildung abgeschlossen<br />
sind.
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