Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I

1. ENDLICHE AUTOMATEN 21
Durch diese Transformation wird aus einem Automaten A = (Q, Σ, δ, I, F ) ein Automat A ′ =
(Q, Σ, δ ′ , I, F ′ ) erzeugt mit:
δ ′ = (δ ∪ {(p, a, q) | (p, ε, r) ∈ δ ∗ , (r, a, q) ∈ δ} ) \ (Q × {ε} × Q)
} {{ } } {{ }
Schritt a.
Schritt c.
F ′ = F ∪ {p ∈ Q | (p, ε, q) ∈ δ ∗ , q ∈ F }
} {{ }
Schritt b.
Schritt 4 (Potenzautomatenkonstruktion): Erzeuge aus einem endlichen nicht-deterministischen
Automaten mit einem Startzustand einen endlichen deterministischen Automaten.
Idee (Potenzautomat): Wir verfolgen alle Wege im endlichen buchstabierenden Automaten
gleichzeitig, dabei merken wir uns alle Zustände, in denen sich der Automat befinden könnte.
Beispiel
Als Beispiel dazu betrachten wir den buchstabierenden Automaten aus Abb. 2.9, der die Sprache
aller Wörter akzeptiert, die mit mind. drei Einsern enden.
1
q 0
1
q 1 1
q 2 q 3
0,1
Abbildung 2.9. Ein buchstabierender Automat für Wörter, die mit mindestens drei Einsern enden.
Nun betrachten wir das Wort w = 110111 und simulieren den Automaten:
initial : {q 0 }
1 : {q 0 , q 1 } Übergang von q 0 mit 1 nach q 0 oder q 1 möglich.
1 : {q 0 , q 1 , q 2 } Übergang von q 0 mit 1 nach q 0 oder q 1 möglich. Übergang
von q 1 mit 1 nach q 2 möglich.
0 : {q 0 } Einen Übergang mit 0 gibt es nur von q 0 ; der führt
wieder nach q 0 .
1 : {q 0 , q 1 } . . .
1 : {q 0 , q 1 , q 2 } . . .
1 : {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } Automat kann sich (bei geeigneter Auswahl der Alternativen)
im Endzustand q 3 befinden; das Wort w wird
also akzeptiert.
Die Simulation aller möglichen erreichbaren Zustände für jedes beliebige Eingabewort w können
wir nun ein für alle mal durchführen: Abb. 2.10 zeigt den entsprechenden Automaten.
Formal läßt sich die Potenzautomatenkonstruktion wie folgt beschreiben: Für einen buchstabierenden
Automaten A = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) definieren wir A ′ = (2 Q , Σ, δ ′ , {a 0 }, F ′ ), wobei
2 Q = {P ⊆ Q} die Potenzmenge von Q ist, d.h. die Menge aller Teilmengen von Q.
Die Potenzmenge 2 Q von Q ist zwar sehr groß; sie ist aber endlich. Also ist A ′ auch ein endlicher
Automat.
Achtung: Die Bezeichner P und R bezeichnen im folgenden Teilmengen von Q, d.h. Zustände des
Potenzautomaten.