Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

10 1. RECHNEN IN DEN GANZEN ZAHLEN
(4) Seien a, c ∈ Z, b, d ∈ N. Zeigen Sie: Wenn die Brüche a b und c d
gekürzt, und
die Nenner b und d teilerfremd sind, so ist auch der Bruch ad+bc
bd
gekürzt.
(5) Sei n ∈ N, und seien a 1 , a 2 , . . . , a n in N. Wir definieren G 1 , G 2 und G 3 durch:
(a) G 1 (a 1 ) := a 1 , G 1 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) = ggT (G 1 (a 1 , a 2 , . . . , a n−1 ), a n ).
(b) G 2 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) := max{z ∈ N | z|a i für alle i ∈ {1, 2, . . . , n}}.
(c) G 3 := min{z ∈ N | es gibt λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ Z, sodass z = ∑ n
i=1 λ ia i }.
Zeigen Sie, dass G 1 , G 2 und G 3 gleich sind.
(6) Sei p n die n-te Primzahl, d. h. p 1 = 2, p 2 = 3, usw. Zeigen Sie, auch, ohne
die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zu verwenden, dass folgendes gilt:
Wenn
a = ∏ p
α i i
b = ∏ p
β i i ,
wobei α i , β i ∈ N 0 , und fast alle α i , β i = 0 sind, dann gilt
ggT (a, b) = ∏ p i
min(α i ,β i ) .
2.2. Der Euklidische ggT-Algorithmus. Es ist einfach, aus den Primfaktorzerlegungen
von a und b den ggT von a und b zu bestimmen. Es kann aber sehr
rechenaufwendig sein, die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu bestimmen. Schneller
kann man den ggT mit dem Euklidischen Algorithmus berechnen, der ohne
die Primfaktorzerlegungen auskommt.
Satz 1.13. Seien a, b ∈ Z, nicht beide 0 und sei z ∈ Z. Dann gilt:
ggT (a, b) = ggT (a + z · b, b) .
So gilt zum Beispiel ggT (25, 15) = ggT (40, 15).
Beweis: Wir zeigen, dass nicht nur der ggT , sondern sogar die Mengen der gemeinsamen
Teiler der beiden Zahlenpaare gleich sind. Wir zeigen also
{t | t | a und t | b} = {t | t | a + zb und t | b} .
“⊆”: Falls t sowohl a als auch b teilt, dann auch a + zb und b. “⊇”: Falls t sowohl
a + zb, als auch b teilt, dann auch a + zb − zb und b, also auch a und b. □
Das nützen wir jetzt möglichst geschickt aus, um ggT (147, 33) zu berechnen:
ggT (147, 33) = ggT (147 − 4 · 33, 33)
= ggT (15, 33)
= ggT (15, 33 − 2 · 15)
= ggT (15, 3)
= ggT (0, 3)
= 3.
Günstig ist es also, z so zu wählen, dass a + zb der Rest von a bei der Division
durch b wird.