Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

46 2. GRUPPEN
Jede Symmetrieoperation des Quadrats ist eine Permutation der vier Eckpunkte.
Alle Symmetrieoperationen erhalten wir aus folgendem Dialog mit GAP
[GAP, 1999]. Diese Symmetriegruppe nennen wir D 4 .
gap> D4 := Group ((1,2,3,4), (1,2)(3,4));
Group([ (1,2,3,4), (1,2)(3,4) ])
gap> AsList (D4);
[ (), (2,4), (1,2)(3,4), (1,2,3,4), (1,3), (1,3)(2,4), (1,4,3,2), (1,4)(2,3) ]
gap>
Zwei Färbungen α, β sind gleich, wenn es ein g aus der ”Symmetriegruppe” gibt,
sodass für alle Eckpunkte z ∈ {1, 2, 3, 4} gilt:
β(g(z)) = α(z).
Wir definieren nun eine Gruppenoperation von D 4
Färbungen:
∗ : G × X −→ X
(g, α) ↦−→ g ∗ α,
wobei
g ∗ α : {1, 2, 3, 4} −→ {1, 2, 3, 4}
z ↦−→ α(g −1 (z)) .
auf der Menge X der
(Die näherliegende Definition g∗α(z) := α(g(z)) ergibt keine Gruppenoperation.)
Definition 2.22. Sei G eine Gruppe, X eine Menge und ∗ eine Gruppenoperation
von G auf X. Wir bezeichnen ξ und η in X als G-äquivalent, falls es ein
g ∈ G gibt, sodass ξ = g ∗ η. Wir schreiben dafür ξ ≈ G η.
Es gilt also
ξ ≈ G η :⇔ ∃g ∈ G : g ∗ ξ = η.
Satz 2.23. Sei G eine Gruppe, X eine Menge und ∗ eine Gruppenoperation von
G auf X. Dann gilt:
(1) ≈ G ist eine Äquivalenzrelation.
(2) Für ein ξ ∈ X ist die Äquivalenzklasse ξ/ ≈ G = {η ∈ X | η ≈ G ξ} gegeben
durch
{η ∈ X | η ≈ G ξ} = {g ∗ ξ | g ∈ G} .
G∗ξ := {g ∗ξ | g ∈ G} heißt “Bahn” oder “Orbit” von ξ unter der Operation von
G. Wenn wir also die nichtäquivalenten Färbungen des Quadrats zählen wollen,
dann müssen wir die Anzahl der Bahnen der Gruppenoperation von D 4 auf der
Menge der Färbungen X berechnen. Diese Anzahl der Bahnen erhalten wir aus
folgendem Satz: