Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

48 2. GRUPPEN
|Fix
(
(g)|
1 × ()
6
)
3 = 20
2 × (123456) 0
3 × (135) (246) 2
4 × (14) (25) (36) 0
Die Anzahl der Bahnen ergibt sich als n = 1 · (20 + 2 · 2) = 4.
6
Wieviele verschiedene Färbungen eines Sechsecks gibt es, wenn wir zwei
Färbungen als gleich betrachten, wenn sie durch Spiegelungen und Drehungen
des Sechsecks ineinander übergehen Wieder sollen drei Eckpunkte rot und drei
blau sein. Wir erhalten folgende Tabelle:
(
()
6
)
3 = 20
(26) (35) (1) (4) 4
(13) (46) (2) (5) 4
(15) (24) (3) (6) 4
4 × { (12) (36) (45) 0
2 × { (123456) 0
2 × { (135) (246) 2
Wir bekommen nun für die Anzahl n der Bahnen n = 1 · (20 + 12 + 4) = 3.
12
Beweis des Satzes von Frobenius-Burnside: Wir zählen die Elemente der Menge
F auf zwei Arten, wobei
Wir erhalten
F := {(g, ξ) | g ∈ G, ξ ∈ X, g ∗ ξ = ξ} .
|F | = ∑ g∈G
|{ξ ∈ X : g ∗ ξ = ξ}| = ∑ g∈G
|Fix (g)|
und
|F | = ∑ ξ∈X
|{g ∈ G : g ∗ ξ = ξ}| .
Die Menge {g | g ∗ ξ = ξ} heißt Stabilisator von ξ. Wir schreiben dafür auch
stab G (ξ) = G ξ . Wir zeigen zunächst, dass für alle ξ ∈ X gilt:
(6.1) |G ∗ ξ| = |{g ∗ ξ | g ∈ G}| = Größe des Orbits von ξ =
|G|
|stab G ξ|
Die Abbildung φ : G → G∗ξ, g ↦→ g ∗ξ ist surjektiv. Außerdem gilt φ (g) = φ (h),
falls g ∗ξ = h∗ξ. Das gilt genau dann, wenn g −1 ·h ∈ stab G ξ. Nun ist S := stab G ξ
eine Untergruppe von G. Die Gleichheit φ (g) = φ (h) gilt also genau dann, wenn
g −1 · h ∈ S. Jedes Element in G ∗ ξ hat also genau |S| Urbilder unter φ, und es
gilt:
|S| · |G ∗ ξ| = |G| .