Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

36 2. GRUPPEN
(2) Sei n ∈ N. ({x ∈ C | x n = 1}, ·) ist eine zyklische Gruppe mit n Elementen.
3.4. Symmetriegruppen geometrischer Objekte. Wir zeichnen das
Quadrat mit den Eckpunkten (−1, −1), (1, −1), (1, 1), (−1, 1), und betrachten
alle bijektiven linearen Abbildungen von R 2 nach R 2 , die das Quadrat auf sich
selbst abbilden (diese Abbildungen bezeichnen wir als Symmetrieabbildungen).
Es kann höchstens 8 solche linearen Abbildungen geben, denn 1 kann auf
höchstens vier Ecken landen, 2 muss zu 1 benachbart bleiben (höchstens zwei
Möglichkeiten), 3 muss die andere zu 1 benachbarte Stelle einnehmen und ist also,
ebenso wie 4, durch die Lage von 1 und 2 bereits fixiert. Es gibt also höchstens
4 · 2 · 1 · 1 Symmetrieabbildungen.
Die Hintereinanderausführung zweier Symmetrieabbildungen ist wieder eine Symmetrieabbildung.
Die identische Abbildung ist eine Symmetrieabbildung, und
zu jeder Symmetrieabbildung d ist die inverse Abbildung wieder eine Symmetrieabbildung.
Die Menge aller Symmetrieabbildungen, mit der Hintereinanderausführung
als zweistelliger Operation, ist eine Gruppe.
Übungsaufgaben 2.4.
(1) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der acht linearen Abbildungen, die das
Quadrat mit den Eckpunkten (−1, −1), (1, −1), (1, 1), (−1, 1) in sich selbst
überführen.
Wir bezeichnen nun eine Drehung des Quadrats um 90 ◦ gegen den Uhrzeigersinn
mit a und eine Spiegelung an der y-Achse mit b. Was können wir nun aus a
und b zusammenbauen Überlegen wir uns zunächst einmal die folgenden beiden
Beispiele:
(1) b · a = a 3 · b
(2) baba = a 3 bba = a 3 1a = a 4 = 1.
Wir können die Symmetrieabbildungen also auf zwei Arten darstellen:
(1) Als Matrizen;
(2) Als Worte in a und b. So ist aaabba eine Symmetrieabbildung. Beim
Rechnen berücksichtigen wir, dass a 4 = 1, b 2 = 1, und ba = a 3 b gilt.
Damit können wir jedes Wort zu einem Wort aus der Menge
{1, a, aa, aaa, b, ab, aab, aaab}