Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

12 1. RECHNEN IN DEN GANZEN ZAHLEN
Vielfache und teilt jedes gemeinsame Vielfache von a und b.
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Zwischen ggT und kgV kann man folgenden Zusammenhang herstellen:
Satz 1.17. Seien a, b ∈ N. Dann gilt
ggT (a, b) · kgV (a, b) = a · b.
Beweis: Wir verwenden die Primfaktorzerlegung von a = ∏ p ν i
i , und b = ∏ p σ i
i .
Aus dem Fundamentallemma (Satz 1.5) kann man herleiten, dass dann gelten
muss:
ggT (a, b) = ∏ p min(ν i,σ i )
i
kgV (a, b) = ∏ p max(ν i,σ i )
i .
Daraus folgt:
(
)
Übungsaufgaben 1.18.
ggT (a, b) · kgV (a, b) = ∏ p
= ∏ p (ν i+σ i )
i
= a · b.
min(ν i ,σ i )+max(ν i ,σ i )
i
(1) Zeigen Sie ohne Verwendung der Primfaktorzerlegung, dass für alle a, b ∈ N
gilt:
kgV (a, b) · ggT (a, b) = a · b.
ab
ggT (a,b) .
Hinweis: Zeigen Sie dazu ab|ggT (a, b) · kgV (a, b) und kgV (a, b)|
(2) Seien a, b, c ∈ N. Zeigen Sie:
(a) ggT (ggT (a, b), c) = ggT (a, ggT (b, c)).
(b) kgV (kgV (a, b), c) = kgV (a, kgV (b, c)).
(c) ggT (kgV (a, b), c) = kgV (ggT (a, c), ggT (b, c)).
(d) kgV (ggT (a, b), c) = ggT (kgV (a, c), kgV (b, c)).
(3) Sei n ∈ N, und seien a 1 , a 2 , . . . , a n in N. Wir definieren K 1 und K 2 durch:
(a) K 1 (a 1 ) := a 1 , K 1 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) = kgV (K 1 (a 1 , a 2 , . . . , a n−1 ), a n ).
(b) K 2 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) := min{z ∈ N | a i |z für alle i ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Zeigen Sie, dass K 1 und K 2 gleich sind.
(4) Sei n ∈ N, und seien a 1 , a 2 , . . . , a n in N. Wir definieren K 2 durch
K 2 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) := min{z ∈ N | a i |z für alle i ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Zeigen Sie, dass alle ganzen Zahlen, die Vielfaches eines jeden a i sind, auch
ein Vielfaches von K 2 (a 1 , a 2 , . . . , a n ) sind.
(5) Sei p n die n-te Primzahl, d. h. p 1 = 2, p 2 = 3, usw. Zeigen Sie, auch ohne
die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zu verwenden, dass folgendes gilt:
Wenn
a = ∏ p i
α i
b = ∏ p i
β i
,
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