Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

28 1. RECHNEN IN DEN GANZEN ZAHLEN
Satz 1.41 (Multiplikativität der ϕ-Funktion). Seien n, m ∈ N, n ≥ 2, m ≥ 2.
Wenn n, m relativ prim sind, dann gilt
ϕ (n · m) = ϕ (n) · ϕ (m) .
Der Beweis der Multiplikativität erfordert noch etwas Information über Ringe.
Satz 1.42. Falls R 1 und R 2 Ringe mit Eins sind, dann ist
(R 1 × R 2 , + R1 ×R 2
, − R1 ×R 2
, ·R1 ×R 2
, 0 R1 ×R 2
, 1 R1 ×R 2
)
wieder ein Ring mit Eins. Dabei sind die Verknüpfungen auf R 1 × R 2 definiert
durch
( ) ( ) ( )
r1
s1 r1 +
• +
r
R1 ×R 2
:=
R1 s 1
2 s 2 r 2 + R2 s
( ) ( ) ( ) 2
r1
s1 r1 ·R1 s
• ·R1 ×R
r 2
:=
1
2 s 2 r 2 ·R2 s
( ) ( ) 2
r1 −R1 r
• − R1 ×R 2
:=
1
r 2 − R2 r 2
• 0 R1 ×R 2
:=
(
0R1
0 R2
)
• 1 R1 ×R 2
:=
(
1R1
1 R2
)
.
R 1 × R 2 mit diesen Operationen erfüllt auch alle Ring mit Eins-Rechengesetze.
Rechnen wir zum Beispiel in Z 4 × Z 5 .
( ) ( ) ( )
[3]4 [2]4 [2]4
· =
[4] 5
[3] 5
[2] 5
R 1 × R 2 heißt das direkte Produkt von R 1 und R 2 .
Definition 1.43. R, S seien Ringe mit Eins. Die Abbildung ϕ : R → S heißt
Ring mit Eins-Homomorphismus: ⇔
∀r 1 , r 2 ∈ R : ϕ (r 1 + R r 2 ) = ϕ (r 1 ) + S (r 2 ) ,
ϕ (− R r 1 ) = − S ϕ (r 1 ) ,
ϕ (r 1 ·R r 2 ) = ϕ (r 1 ) ·S ϕ (r 2 ) ,
ϕ (0 R ) = 0 S ,
ϕ (1 R ) = 1 S .
Definition 1.44. Ein Homomorphismus ϕ heißt:
• Epimorphismus :⇔ ϕ ist surjektiv;
• Monomorphismus :⇔ ϕ ist injektiv;
• Isomorphismus :⇔ ϕ ist bijektiv.