Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

38 2. GRUPPEN
Wir können jedes Element von S 3 so anschreiben:
( )
1 2 3
f(1) f(2) f(3) .
Damit können wir
schreiben als:
{(
1 2 3
S 3 =
1 2 3
) (
1 2 3
,
2 1 3
Kürzer ist die Zyklenschreibweise:
S 3
) (
1 2 3
,
3 2 1
) (
1 2 3
,
1 3 2
) (
1 2 3
,
2 3 1
S 3 = { () , ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 )} .
Wie die Zyklenschreibweise Permutationen kodiert, geht aus folgendem Beispiel
hervor.
( )
1 2 3 4 5
= ( 1 3 ) ( 4 5 ) = ( 3 1 ) ( 5 4 ) = ( 5 4 ) ( 3 1 )
3 2 1 5 4
(
1 2 3 4 5
2 3 5 4 1
In S 3 gibt es x, y, sodass x · y ≠ y · x.
)
= ( 1 2 3 5 ) .
Definition 2.6. Eine Gruppe (G, ·, −1 , 1) ist abelsch, wenn für alle x, y ∈ G die
Gleichung x · y = y · x gilt.
Die Gruppe S 3 ist nicht abelsch:
( 1 2
)
◦
( 1 3
)
=
( 1 3 2
)
( 1 3
)
◦
( 1 2
)
=
( 1 2 3
)
Wir sehen also: wenn n ≥ 3, dann ist S n nicht abelsch.
]
≠ .
) (
1 2 3
,
3 1 2
)}
.
Übungsaufgaben 2.7.
(1) Geben Sie Beispiele für Gruppen an, die bis jetzt noch nicht erwähnt wurden.
(2) Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe mit n Elementen. Zeigen Sie, dass für jedes
g ∈ G gilt: g n = 1 G . Hinweis: Für G := (Z n ∗ , ·) ist das der Satz von Euler.
Bemerkung: Dieser Satz gilt nicht nur für abelsche, sondern für alle Gruppen.