Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

1. DEFINITION UND EINFACHE EIGENSCHAFTEN ENDLICHER KÖRPER 63
Es gilt dann (Satz von Fermat)
(1.1) b i
p i
r i
= 1.
Sei nun k die Ordnung von b i , also das kleinste n ∈ N, sodass (b i ) n = 1. Da k|p i
r i
gibt es ein s i ∈ {0, 1, . . . , r i }, sodass k = p i
s i
. Wir zeigen nun
(1.2) s i = r i .
Nehmen wir an s i ≤ r i − 1. Dann gilt
also
b i
p i
r i −1
= 1,
a i
h
p i = 1.
Das widerspricht der Wahl von a i ; dieser Widerspruch beweist (1.2). Die Ordnung
von b i ist also p i
r i
. Wir bilden nun
c =
N∏
b i .
i=1
Klarerweise gilt c h = 1. Wir zeigen nun, dass c wirklich Ordnung h hat. Wenn c
kleinere Ordnung hätte, dann gibt es ein j ∈ {1, . . . , N}, sodass c h p j
= 1. Daher
gilt
(1.3)
N∏
i=1
b i
h
p j = 1.
Falls i ≠ j, so gilt p i
r i
| h p j
. Wegen (1.1) sind also Faktoren in (1.3) mit i ≠ j gleich
1. Wir erhalten also
b j
h
p j = 1.
r
Da b j wegen (1.2) die Ordnung p j r j hat, gilt p j j | h r
p j
. Daher gilt p j +1 j |h, was
im Widerspruch zur Primfaktorzerlegung von h steht. Das Element c hat also
wirklich Ordnung h, und ist somit ein erzeugendes Element für die Gruppe A. □
Aus dem Satz 5.12 folgt nun direkt der Satz 5.11, da in jedem Körper und für
jedes n das Polynom x n − 1 höchstens n Nullstellen hat.
Übungsaufgaben 5.13.
(1) Sei (A, ·) eine Gruppe, und sei a ∈ A und n ∈ N so, dass a n = 1. Zeigen Sie,
dass n ein Vielfaches der Ordnung von a ist.