Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

18 1. RECHNEN IN DEN GANZEN ZAHLEN
(2) a ∨ (a ∧ b) = a,
(3) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c),
(4) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c),
(5) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),
(6) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Der folgende Satz sagt, wann ein System von Kongruenzen lösbar ist.
Satz 1.28 (Chinesischer Restsatz). Seien r ∈ N, a 1 , . . . , a r ∈ Z,
m 1 , . . . , m r ∈ Z \ {0}. Dann sind folgende drei Aussagen äquivalent.
(1) Es gibt x ∈ Z, sodass
x ≡ a 1 (mod m 1 )
x ≡ a 2 (mod m 2 )
.
x ≡ a r (mod m r ) .
(2) Für alle i, j ∈ {1, 2, . . . , r} ist das System
lösbar.
(3) Für alle i, j ∈ {1, 2, . . . , r} gilt
x ≡ a i (mod m i )
x ≡ a j (mod m j )
ggT (m i , m j ) | a i − a j .
Beweis: “(1) ⇒ (2)” ist offensichtlich. “(2) ⇔ (3)” gilt wegen Satz 1.23.
“(3) ⇒ (1)”: Wir zeigen durch Induktion nach r, dass jedes System aus r Kongruenzen,
für das die Bedingung (3) erfüllt ist, lösbar ist. Ein System aus zwei
Kongruenzen ist wegen Satz 1.23 lösbar. Um ein System von r (mit r ≥ 3)
Kongruenzen zu lösen, bestimmen wir zuerst nach Induktionsvoraussetzung ein
y sodass
y ≡ a 2 (mod m 2 ) , . . . , y ≡ a r (mod m r ) .
Wegen Satz 1.26 ist x ≡ a 1 (mod m 1 ) , . . . , x ≡ a r (mod m r ) äquivalent zu
(3.3)
x ≡ a 1 (mod m 1 )
x ≡ y (mod m 2 ∨ . . . ∨ m r ) .
Jetzt müssen wir zeigen, dass (3.3) lösbar ist. Das gilt nach Satz 1.23 genau dann,
wenn
(3.4) m 1 ∧ (m 2 ∨ . . . ∨ m r ) | y − a 1 .
Es gilt a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c). Daher ist (3.4) äquivalent zu
(m 1 ∧ m 2 ) ∨ (m 1 ∧ m 3 ) ∨ . . . ∨ (m 1 ∧ m r ) | y − a 1 .