Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

3. LÖSEN VON KONGRUENZEN 19
Wir zeigen dazu, dass für i > 1 gilt:
(3.5) (m 1 ∧ m i ) | (y − a 1 ).
Wir wissen aber
y − a 1 ≡ mi a i − a 1 ≡ (mi ∧m 1 ) 0.
Das beweist, dass für alle i > 1 gilt (m i ∧ m 1 )|(y − a 1 ). Nun ist jedes gemeinsame
Vielfache eine Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, und somit gilt
(3.4). □
Beispiel: Wir lösen folgendes System
(3.6)
x ≡ 2 (mod 15)
x ≡ 8 (mod 21)
x ≡ 7 (mod 55)
Wir kennen bereits die Lösungen von x ≡ 2 (mod 15), x ≡ 8 (mod 21). Das
System (3.6) ist daher äquivalent zu
x ≡ 92 (mod 105)
x ≡ 7 (mod 55) .
Wir berechnen ggT (55, 105) und die Kofaktoren nach dem Euklidschen Algorithmus
und erhalten
105 55
105 1 0
55 0 1
50 1 -1
5 -1 2
0
und daher
(−1) · 105 + 2 · 55 = 5
(−17) · 105 + 34 · 55 = 92 − 7
7 + 34 · 55 = 92 + 17 · 105.
Daraus erhalten wir also, dass 1877 die Lösung ist, also geben wir die
Lösungsmenge folgendermaßen an:
Übungsaufgaben 1.29.
L = {x ∈ Z | x ≡ 1877 (mod 1155)}
= {x ∈ Z | x ≡ 722 (mod 1155)}.
(1) Finden Sie alle Lösungen in Z von
x ≡ 26 (mod 56)
x ≡ 82 (mod 84)
x ≡ 124 (mod 126) .