Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

34 2. GRUPPEN
Nun zeigen wir (2). Wir wählen z ∈ G beliebig, aber fest, und rechnen:
Für (3) berechnen wir
Übungsaufgaben 2.3.
i(i(z)) = i(i(z)) · e
= i(i(z)) · (i(z) · z)
= (i(i(z)) · i(z)) · z
= e · z
= z.
z · i(z) = i(i(z)) · i(z)
= e.
(1) Sei (G, ·, i, e) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ G die Gleichung
a · x = b genau eine Lösung hat.
(2) Sei (G, ·, i, e) eine Gruppe. Benutzen Sie das vorige Übungsbeispiel, um zu
zeigen, dass i(e) = e, und dass für alle x, y ∈ G gilt:
i(x · y) = i(y) · i(x).
(3) ∗ Sei (G, ·, i, e) eine Gruppe. Zeigen Sie durch eine Kette von Gleichungen wie
im Beweis von Satz 2.2, dass i(e) = e, und dass für alle x, y ∈ G gilt:
i(x · y) = i(y) · i(x).
(4) Finden Sie eine Menge H, eine Funktion · von H × H nach H, eine Funktion
i von H nach H, und ein Element e ∈ H, sodass alle folgende Eigenschaften
erfüllt sind:
(a) Für alle x, y, z ∈ H gelten: (x · y) · z = x · (y · z), e · x = x, x · i(x) = e.
(b) (H, ·, i, e) ist keine Gruppe.
(5) Zeigen Sie, dass bei einer Gruppe G die Funktion, die das inverse Element
bestimmt, und das neutrale Element der Gruppe, bereits durch die zweistellige
Gruppenoperation vollständig bestimmt sind. D. h., zeigen Sie: Seien
(G, ◦, i 1 , e 1 ) und (G, ◦, i 2 , e 2 ) zwei Gruppen. (Die beiden Gruppen haben also
die Trägermenge G und die zweistellige Operation ◦ gemeinsam.) Zeigen Sie
i 1 = i 2 und e 1 = e 2 .
Es ist erfreulich, dass man Satz 2.2 automatisch beweisen lassen kann;
die theoretische Grundlage dafür ist die Methode von Knuth und Bendix
[Knuth and Bendix, 1970], die z. B. in [Buchberger, 1982] beschrieben
wird. Eine Implementation dieses Algorithmus, der “Larch”-prover, liefert bei
Eingabe der Gleichungen
e ∗ x = x
i(x) ∗ x = e
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)