Einführung in die Algebra Vorlesungsunterlagen Erhard Aichinger ...

KAPITEL 2
Gruppen
1. Motivation
Im 19.Jahrhundert suchte man Lösungsformeln für Gleichungen der Form
x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0
mit a 1 , a 2 , . . . , a n−1 ∈ Q. Für eine quadratische Gleichung der Form x 2 +px+q = 0
erhalten wir die Lösungen durch x 1,2 = − p 2 ± √ ( p
2) 2
− q. Gleichungen dritten
Grades der Form x 3 + ax 2 + bx + c = 0 kann man mit den Cardano’schen
Lösungsformeln lösen; die ersten Lösungsformeln stammen von Tartaglia und
Scipione del Ferro (ca. 1515). Für diese Lösungsformeln braucht man die komplexen
Zahlen, auch wenn alle Lösungen reell sind. Luigi Ferrari (ca. 1545) fand
Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad 4. In allen diesen Formeln wird ein
Verfahren angeben, die Lösung aus den Koeffizienten durch Verwendung der 4
Grundrechnungsarten und dem Ziehen von Quadratwurzeln und n-ten Wurzeln
(n ∈ N) zu bestimmen. Die Suche nach einer Auflösungsformel für Gleichungen
fünften Grades blieb erfolglos. Gegen Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts
gelang es Ruffini, Abel und Galois, zu beweisen, dass es Gleichungen 5.
Grades gibt, deren Lösungen sich nicht durch die vier Grundrechnungsarten und
Wurzelziehen finden lassen (cf. [Rotman, 1998]). Zum Beweis dieses Resultats
wurden Vertauschungen der Wurzeln eines Polynoms studiert.
Wir werden in diesem Kapitel folgendes Problem lösen: Wir wollen die Seitenflächen
eines Würfels mit zwei Farben (rot und blau) einfärben. Wieviele
Färbungen gibt es Dabei sehen wir zwei Färbungen als gleich an, wenn sie durch
Drehen des Würfels ineinander übergeführt werden können. So gibt es z. B. nur
eine Färbung, bei der eine Fläche rot ist, und alle anderen Flächen blau sind.
2. Definition einer Gruppe
Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur
(G, ·, i, e) ,
wobei · eine zweistellige Verknüpfung ist, i einstellig, und e ein Element von G
ist.
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